Chapter 1-3 벡터 성분과 단위벡터

1. 성분 벡터(component vector)와 단위 벡터(unit vector)

벡터가 좌표계에서 각 방향으로 얼만큼의 크기를 가지는지, 방향만을 알고 싶을 때는 어떻게 해야하는지, 벡터를 효율적으로 표현하고 연산하기 위해 성분 벡터와 단위 벡터에 대해 알아보자

 

 

1. 성분 벡터(component vector)

 

그림1. 성분 벡터

 

(1) 성분 벡터의 정의

$\mathbf{r}$ : 좌표계의 원점을 기준으로 공간상의 다른 한 점과 연결한 길이 $\mathit{r}$ 인 임의의 벡터

벡터 $\mathbf{r}$ 의 성분 벡터 : 벡터 $\mathbf{r}$ 을 좌표축게 따라 3개의 벡터로 분리하여 각각 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} , \mathbf{z} $ 라고 하면 \( \mathbf{r} = \mathbf{x} + \mathbf{y} + \mathbf{z} \)  이 되고 이때의 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} , \mathbf{z} $ 를 의미

 

(2) 성분 벡터의 특징

주어진 벡터에 따라 크기는 상이하지만, 방향은 항상 일정

 

 

2. 단위 벡터(unit vector)

 

그림2. 단위 벡터

 

(1) 단위 벡터의 정의

크기가 1인 벡터, 방향은 좌표축 상에서 좌표값이 증가하는 방향

표현 : $\mathbf{a}$ 로 주로 표현하며  \( \mathbf{a_x}, \mathbf{a_y} , \mathbf{a_z} \) 로 표시 

2. 단위 벡터와 성분 벡터

 

그림3. 단위 벡터를 이용한 성분벡터 표시

(1) 단위 벡터를 이용한 성분 벡터 표시

\( P_1 : P_1(x_1, y_1, z_1), \quad P_2 : P_2(x_2, y_2, z_2)
\)

 

\( \mathbf{R_1} = \overrightarrow{OP_1}=x_1\mathbf{a_x} + y_1\mathbf{a_y} + z_1\mathbf{a_z}
\)

\( \mathbf{R_2} = \overrightarrow{OP_2}= x_2\mathbf{a_x} + y_2\mathbf{a_y} + z_2\mathbf{a_z}
\)

 

(2) 두 점 사이의 벡터 계산

\( \mathbf{R_{12}} = \overrightarrow{P_1P_2}=\mathbf{R_2}-\mathbf{R_1} \quad (\because \mathbf{R_1}+\mathbf{R_{12}}=\mathbf{R_2}) \)
\(  = (x_2 - x_1)\mathbf{a_x} + (y_2 - y_1)\mathbf{a_y} + (z_2 - z_1)\mathbf{a_z}
 \)

 

(2) 두 점 사이의 거리 계산

\( d=\left |\mathbf{R_{12}} \right |=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)

 

(3) 활용

힘 벡터 \( \mathbf{F} \) 표현 방법 : \( \mathbf{F}=\mathbf{F_x}+\mathbf{F_y}+\mathbf{F_z}=F_x\mathbf{a_x}+F_y\mathbf{a_y}+F_z\mathbf{a_z} \)

이 때, \( F_x, F_y, F_z \) 는 힘 \( \mathbf{F} \) 의 성분 벡터

단, \( \mathbf{r} = x\mathbf{a_x} + y\mathbf{a_y} + z\mathbf{a_z} \) 이는 변위형 벡터

변위, 즉 방향을 갖는 위치 표시에 사용한다는 의미이지 성분 벡터의 의미가 아님

 

임의의 벡터 \( \mathbf{B} \) 표현 방법

\( \mathbf{B}=B_x\mathbf{a_x}+B_y\mathbf{a_y}+B_z\mathbf{a_z} \) 

벡터 \( \mathbf{B} \) 크기 : \( \left | \mathbf{B}\right |=\sqrt[]{B_x^2+B_y^2+B_z^2} \)

벡터 \( \mathbf{B} \) 의 단위 벡터 \( \mathbf{a_B}=\frac{\mathbf{B}}{\left | \mathbf{B}\right |}=\frac{\mathbf{B}}{\sqrt[]{B_x^2+B_y^2+B_z^2}} \)

벡터 \( \mathbf{B} =B_x\mathbf{a_x}+B_y\mathbf{a_y}+B_z\mathbf{a_z} \)

\( \mathbf{B_x} =B_x\mathbf{a_x} \to \mathbf{a_x} = \frac{\mathbf{B_x}}{B_x}=\frac{\mathbf{B_x}}{\left |\mathbf{B_x} \right |} \)