Engineering Electromagnetism/4. Electric Field Energy&Potential

Chapter 4-4 전위 경도(Potential Gradient)

Pro-E 2025. 3. 10. 10:31

 

 

 

1. 전위 경도(Potential Gradient)

지금까지는 전계의 세기로부터 전위라는 개념을 도출하고, 구하는 방법에 대해 알아보았다.

이제부터 반대로 전위로부터 전계의 세기를 구하는 방법에 대해 다루고, 다루면서 도출된 개념인 전위 경도에 대해 알아보자.

 

 

1) 전계의 세기와 전위의 관계

 

그림1. 전위에서의 증분 거리 벡터와 전계의 관계

 

(1) 전위로부터 전계를 구하는 방법

  • 우선, 전계의 세기를 통한 전위를 구하는 방법은 다음과 같다.
    • V=−∫E∙dL
  • 그림 1과 같이 일정한 전계 내 전위차에 대한 증분 ΔV 는 다음과 같다.
    • ΔV=−E⋅ΔL
    • ΔV=−ELcos⁡θ
    • θ : V,ΔL 의 사잇각
  • 전계에 대해서 정리하고 증분량에 대해 극한 값을 취하면 다음과 같다.
    • limΔL→0ΔVΔL=dVdL=−Ecos⁡θ
  • 각도에 따라 전계의 세기에 대한 최대값은 다음과 같다.
    • dVdL|max=E
    • cos⁡θ=−1 즉, ΔL,E 의 방향이 반대일 때 전계의 세기가 최대가 된다

 

(2) 전계와 전위의 관계

그림2. 전계와 전위의 관계

 

  • 그림 2는 등전위면으로 표현된 전위계(Potential Field)에 대한 스케치이다.
  • 점 P에서 전위 변화율이 최대가 되는 방향으로 선을 그어보면 왼쪽과 약간 위쪽으로 향하는 것을 알 수 있다.
  • 이를 통해 전위 변화율이 최대가 되는 방향은 등전위면에 수직인 방향임을 알 수 있다.
  • 또한 전위 변화율이 최대가 되는 방향은 전계의 방향과 반대 방향이므로 전계의 방향 또한 알 수 있다.
  • 전계와 전위의 관계를 정리하면 다음과 같다.
    • E의 크기 : 거리 변화에 대한 전위변화율의 최대값
    • E의 방향 : 전위변화율의 최대값을 제공하는 거리증분의 방향과 반대 방향(등전위면과 수직 방향)
    • 전위변화율이 최대값이라는 것 : 전위가 가장 급격히 증가한다는 것을 의미
    • 즉, 전계의 방향과 반대방향으로의 거리증분의 방향이 전위 증가율의 최대가 되고, 등전위면에 수직인 방향이다.
  • 전계와 전위의 관계를 식으로 표현하면 다음과 같다.
    • E=−dVdL|maxaN=−dVdNaN
    • dVdL|max=dVdN : 등전위면에 수직일 때 전위 변화율이 최대라는 의미
    • aN : 등전위면에 수직이며 전위가 커지는 방향의 단위 벡터
    • 어떤 점에서도 전계 E 는 그 점을 통과하는 등전위면과 수직이며, 전위가 감소하는 방향으로 향한다.

 

 

2) 전위 경도

 

그림3. 전위경도의 개념

 

(1) 전위경도의 정의

  • 스칼라계의 변화율을 나타내는 경도(gradient)로 다음과 같다.
    • grad V=dVdNaN

 

(2) 전위경도의 개념

  • 미소일로부터 미소 전위의 식을 표현하면 다음과 같다.
    • dW=−QE⋅dL 
    • dV=dWQ=−E⋅dL=−Exdx−Eydy−Ezdz
    • 이를 통해, 전위는 전하로부터의 거리에 비례한다는 것을 볼 수 있다.(이전 포스팅인 전위의 정의 개념부터 알 수 있는 내용)
  • V, E의 관계는 다음과 같다.
    • E=−grad V=−dVdNaN
  • 여기서 V=f(x,y,z) 이므로 dV는 다음과 같이 편미분으로 표현된다.
    • dV=∂V∂xdx+∂V∂ydy+∂V∂zdz
  • dv에 대한 편미분식을 미소 일로부터의 미소 전위에 대한 식에 대입하면 전계의 세기 성분은 다음과 같다.
    • Ex=−∂V∂x
    • Ey=−∂V∂y
    • Ez=−∂V∂z
  • E에 대해 표현하면 다음과 같다.
    • E=Exax+Eyay+Ezaz
  • 전계의 세기 성분을 대입하면 다음과 같다.
    • E=−(∂V∂xax+∂V∂yay+∂V∂zaz)
  • 정리하면 다음과 같이 정의된다.
    • E=−(∂V∂xax+∂V∂yay+∂V∂zaz)=−(∂∂xax+∂∂yay+∂∂zaz)⋅V
    • grad V=−E=(∂∂xax+∂∂yay+∂∂zaz)⋅V=∇V
    •  grad V=−E=∇V
  • 좌표계에 따른 스칼라계의 경도는 다음과 같다.
    • ∇V=∂V∂xax+∂V∂yay+∂V∂zaz(Rectangular)  
    • ∇V=∂V∂ρaρ+1ρ∂V∂ϕaϕ+∂V∂zaz(Cylindrical)  
    • ∇V=∂V∂rar+1r∂V∂θaθ+1rsin⁡θ∂V∂ϕaϕ(Spherical)  
댓글수0