1. 연속적인 전하 분포
이제부터 무수히 많은 전하로 채워진 공간 영역에 대해 알아보자
- 전하 분포
- 어떤 공간 내에 무수히 많은 전하가 있는 상태
- 연속 전하 분포
- 전하 분포가 균일하게 분포한 상태
- 연속 전하 분포를 전하 밀도로 표현할 수 있고 공간에 따라 체적 전하밀도, 선전하밀도, 면전하밀도라고 표현
- 대칭전하 분포
- 연속 전하 분포가 특정한 대칭성을 가지는 상태
- 전하가 일정한 패턴을 이루며 분포하는 것을 의미
- 전계를 구할 때 좌표 변환을 활용하거나 다음 포스팅에서 다룰 가우스 법칙을 적용하여 쉽게 계산 가능
- 특정 좌표계(구좌표계, 원통좌표계, 직각좌표계)를 사용하면 복잡한 적분 없이 쉽게 해석 가능
1) 체적 전하 밀도(Volume Charge Density)
(1) 체적 전하 밀도의 정의
- 무수히 많은 점전하가 3차원 공간 즉, 체적(Volume) 내에 분포하는 것으로, 단위 체적당 전하량을 의미한다.
- 표현 : \( \rho_v ( C/m^3 ) \)
(2) 체적 전하 밀도의 총 전하량
- 체적 전하밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
- \( \rho_v=\displaystyle \lim_{\Delta v \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta v}=\frac{dQ}{dv} \)
- 어떤 유한 체적내 총 전하량은 그 체적 전체에 걸쳐 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
- \( dQ=\rho_v dv \to Q=\int_{vol}dQ=\int_{vol}\rho_v dv \)
- 일반적으로 적분 기호를 3개 사용하나, volume을 사용하여 하나로 표현한다.
- \( \int_{vol}dv=\iiint dv \)
2) 선전하 밀도(Line Charge Density)
(1) 선전하 밀도의 정의
- 선전하 : 무수히 많은 점전하가 극히 작은 반경으로 대전된 도체와 같이 필라멘트 분포를 갖는 전하
- 선전하 밀도
- 그림2와 같이 원통형 좌표계에서 z축의 \((-\infty +\infty \)) 범위에 대해 전하가 균일하게 분포되어 있는 선전하
- 선을 따라 전하가 연속적으로 분포하며 단위 길이당 전하량을 의미한다.
- 좌표계 : 원통좌표계
(2) 선전하 밀도의 총 전하량
- 선전하 밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
- \( \rho_l=\displaystyle \lim_{\Delta v \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta l}=\frac{dQ}{dl} \)
- 어떤 유한 구간내 총 전하량은 그 무한장 직선에 걸쳐 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
- \( dQ=\rho_l dl \to Q=\int_{l}dQ=\int_{l}\rho_l dv \)
(3) 선전하 밀도에 의한 전계의 세기
- 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 성질
- \( \mathbf{E}=E_\rho \mathbf{a_\rho} + E_\phi \mathbf{a_\phi} + E_z \mathbf{a_z} \)
- 전계의 세기는 방사상 성분만을 갖는다. \( \to E_\phi \mathbf{a_\phi} = 0 \)
- 전계의 세기의 축성분은 상쇄된다. \( \to E_z \mathbf{a_z} = 0 \)
- 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 : \( E_\rho \mathbf{a_\rho} \) 성분만을 가지므로 \( \rho \) 만의 함수
- 따라서, \( \mathbf{E} = E_\rho \mathbf{a_\rho} \) 로 정의된다.
- 선전하 밀도에 의한 전계의 세기의 축성분 상쇄 원리
- z축 상의 어떤 점 \( P \) 를 기준으로 위쪽 전하 \( dq_1 \)에 의한 전계 \( \mathbf{E_{z1}} \)
- 점 \( P \) 를 기준으로 동일 거리의 아래쪽 전하 \( dq_2 \) 에 의한 전계 \( \mathbf{E_{z2}} \)
- 이 두 전하가 만드는 전계의 크기는 갖지만 방향이 반대이므로 서로 상쇄된다.
(4) 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 정의 유도
- 그림2와 같이 y축 상의 한 점 \( P(0,y,0) \) 에 대해 전계를 구해보자.
- 미소 선전하(점전하) 즉, 미소 구간 \( dz' \) 에 존재하는 전하량 : \( dQ = \rho_L dz' \) 이다.
- 미소 선전하에 의한 전계의 세기를 일반식으로부터 유도하여 정의하면 다음과 같다.
- 미소 선전하(점전하) 벡터 \( \mathbf{r} \) 는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{r} &= y\mathbf{a_y}, \quad \mathbf{r}=A_\rho = A_x \cos\phi + A_y \sin\phi = y\mathbf{a_\rho} = \rho\mathbf{a_\rho} \quad \left( \because x = 0, \quad \phi = \frac{\pi}{2}, \quad \rho = y \right) \end{aligned} $$
-
- 전계의 세기 계산 지점 벡터 \( \mathbf{r'} \) 는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{r'} = z'\mathbf{a_z} \end{aligned} $$
-
- 미소 선전하에 의한 전계의 세기의 선분 벡터 \( \mathbf{R} \) 와 크기는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r'} = \rho\mathbf{a_\rho} - z'\mathbf{a_z} \quad , \quad |\mathbf{R}| = |\mathbf{r} - \mathbf{r'}| = \sqrt{\rho^2+z'^2} \end{aligned} $$
-
- 전계의 세기 일반식은 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \mathbf{a_r} \end{aligned} $$
-
- 선전하분포를 고려하여 미소 전기장을 일반식에 대입하면 다음과 같다.
$$ d\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho_L dz'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r'}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho_L dz'}{\left( \rho^2+z'^2 \right)^{3/2}} (\rho\mathbf{a_\rho} - z'\mathbf{a_z}) $$
-
- 선전하 밀도에 의한 전계의 성분인 \( E_\rho \) 성분만 고려하여 정리하면 다음과 같다.
$$ d\mathbf{E_\rho} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho_L dz'}{\left( \rho^2+z'^2 \right)^{3/2}} (\rho\mathbf{a_\rho}) $$
-
- 전체 전계의 세기는 미소 전계의 적분을 통해 계산하고, \( F_{even} : f(x)=f(-x) \) 활용하여 적분 범위를 변환하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{E_\rho} = \frac{\rho\rho_L }{4\pi\epsilon_0} \cdot 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{dz'}{\left( \rho^2+z'^2 \right)^{3/2}} $$
-
- 적분을 하기 위해 삼각 치환을 이용하면 다음과 같다.
$$ z' = \rho \tan\theta, \quad dz' = \rho \sec^2\theta d\theta , \quad dz' : [0,+\infty) \to d\theta : [0,\frac{\pi}{2}] \\ \rho^2+z'^2 = \rho^2 (1 + \tan^2\theta) = \rho^2\sec^2\theta $$
-
- 삼각 치환을 적용하고 정리하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E_\rho} &= \frac{\rho\rho_L }{4\pi\epsilon_0} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho\sec^2\theta d\theta}{(\rho^2\sec^2\theta)^{3/2}} = \frac{\rho\rho_L }{2\pi\epsilon_0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho\sec^2\theta d\theta}{\rho^3\sec^3\theta} \\ &= \frac{\rho\rho_L }{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{\rho^2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sec\theta} = \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0\rho} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta \end{aligned} $$
-
- 적분식에 대입하고 단순화하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E_\rho} = \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0 \rho} (\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0)= \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0 \rho} (\because \sin\frac{\pi}{2} = 1,\sin 0 = 0) \end{aligned} $$
-
- 적분을 수행하면 다음과 같은 선전하에 의한 전계의 세기가 정의된다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E_\rho} = \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0 \rho} \mathbf{a_\rho} \end{aligned} $$
-
- 선전하의 경우 전계의 세기는 거리에 반비례한다.
3) 면전하 밀도에 의한 전계(Sheet of Charge Density)
(1) 면전하 밀도의 정의
- 면전하 : 무수히 많은 점전하가 금속판과 같이 면 위에 분포한 전하
- 면전하 밀도
- 그림3과 같이 직각 좌표계의 yz 무한 평면에 전하가 균일하게 분포되어 있는 면전하
- 무한 대전판에 전하가 연속적으로 분포하며 단위 면적당 전하량을 의미한다.
- 주로 스트립 전송 라인 또는 병렬 플레이트 커패시터의 도체를 근사화하는데 사용된다.
- 좌표계 : 직각좌표계
(2) 면전하 밀도의 총 전하량
- 면전하 밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
- \( \rho_s=\displaystyle \lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta s}=\frac{dQ}{ds} \)
- 어떤 유한 면적 내 총 전하량은 그 무한 대전판의 면적에 대한 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
- \( dQ=\rho_s ds \to Q=\int_{s}dQ=\int_{s}\rho_s ds \)
(3) 면전하 밀도에 의한 전계의 세기
- 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 성질
- \( \mathbf{E}=E_x \mathbf{a_x} + E_y \mathbf{a_y} + E_z \mathbf{a_z} \)
- 전계의 세기는 방사상 성분만을 갖는다.
- 전계의 세기의 축성분은 상쇄된다. \( \to E_y \mathbf{a_y} , E_z \mathbf{a_z} = 0 \)
- 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 : \( E_x \mathbf{a_x} \) 성분만을 가지므로 \( x \) 만의 함수
- 따라서, \( \mathbf{E} = E_x \mathbf{a_x} \) 로 정의된다.
- 면전하 밀도에 의한 전계의 세기의 축성분 상쇄 원리
- 그림 3과 같이 무한 대전판(전하 시트)를 yz평면에 놓고 대칭성을 고려하여 생각해보자
- yz 평면 즉, 무한 평면에 있다는 것은 선전하 밀도에서 설명한 축성분의 상쇄원리와 같이 y, z 성분이 상쇄되어 0이 된다는 것을 의미한다.
(4) 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 정의 유도
- 그림3과 같이 yz평면에 존재하는 면전하밀도에 의한 x축 상의 점\( P(x,0,0) \)에 대해 전계를 구해보자.
- 대전판을 미소폭(\( dy' \))을 갖는 스트립으로 나누면 해당 스트립은 선전하와 동일하다.
- 즉, 미소폭(\( dy' \))에 존재하는 선전하 밀도 : \( \rho_l = \rho_s dy' \)
- 선전하에 의한 전계의 세기를 이용하여 면전하 밀도에 의한 전계의 세기를 정의하면 다음과 같다.
- 선전하 밀도에 의한 전계의 세기식은 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E_\rho} = \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0 \rho} \mathbf{a_\rho} \end{aligned} $$
-
- 선전하 \( \rho_l = \rho_s dy' \) 로부터 측정점 \( P(x,0,0) \) 까지의 거리는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} R = \sqrt{x^2+y'^2} \end{aligned} $$
-
- 선전하 \( \rho_l = \rho_s dy' \) 로부터 측정점 \( P(x,0,0) \) 까지 선을 그어보자.
- 이어진 선이 선전하 \( \rho_l = \rho_s dy' \) 로부터 측정점 \( P(x,0,0) \) 에 대한 전계의 세기 \( dE \) 에 대한 크기이다.
$$ \begin{aligned} dE = \frac{\rho_l }{2\pi\epsilon_0 \rho}=\frac{\rho_s dy'}{2\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y'^2}} \end{aligned} $$
-
- 이어진 선과 x축에 대한 사잇각을 \( \theta \) 라고 하자.
- 이 때 면전하밀도에 의한 전계의 세기 성질에 의해 \( E_x \) 성분만 고려여 생각해볼 수 있다.
- 삼각비를 이용하여 \( E_x \) 는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ \begin{aligned} dE_x = dE\cos\theta=\frac{\rho_s dy'}{2\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y'^2}}\cos\theta \end{aligned} $$
-
- 삼각비 \( \cos\theta \) 를 x, y로 정리하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} dE_x = \frac{\rho_s dy'}{2\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y'^2}}\cos\theta = \frac{\rho_s dy'}{2\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y'^2}} \frac{x}{\sqrt{x^2+y'^2}} = \frac{\rho_s}{2\pi\epsilon_0}\frac{x dy'}{x^2+y'^2} \end{aligned} $$
-
- 전체 전계의 세기는 평면 전체를 구성하는 미소 전계의 적분을 통해 계산하므로 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E_x} = \frac{\rho_s }{2\pi\epsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{xdy'}{x^2+y'^2} \end{aligned} $$
-
- 적분을 하기 위해 유리 함수의 적분 공식을 이용하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C \to \frac{\rho_s }{2\pi\epsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{xdy'}{x^2+y'^2}=\frac{\rho_s }{2\pi\epsilon_0}x\frac{1}{x}\arctan{\frac{y'}{x}} \end{aligned} $$
-
- 정리하여 구간에 대해 정리하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} E_x = \frac{\rho_s }{2\pi\epsilon_0}(\arctan{+\infty}-\arctan{-\infty})= \frac{\rho_s }{2\pi\epsilon_0}(\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}))=\frac{\rho_s }{2\epsilon_0} \end{aligned} $$
-
- 대전판에서 수직(normal)로 나가는 방향이므로 단위벡터 \( \mathbf{a_N} \) 사용하여 면전하에 의한 전계의 세기가 정의된다.
$$ \begin{aligned} \mathbf{E} = \frac{\rho_s }{2\epsilon_0}\mathbf{a_N} \end{aligned} $$
-
- 면전하의 경우 측정하는 점의 위치에 관계 없이 크기와 방향이 일정하다.
(5) 두 무한 대전판이 존재할 때 위치에 따른 전계의 세기
- 그림4와 같이 \( x=a \) 평면에 \( -\rho_s \) 를 갖는 두 번째 무한 대전판이 위치한다면 위치에 따라 상쇄되거나, 합쳐져서 표와 같은 결과를 얻을 수 있다.
4) 연속적인 전하 분포 정리
(1) 점전하(Point Charge)
- 총 전하량 : \( Q = \sum Q_n \)
- 전계의 세기 : \( \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\mathbf{a_r} \)
(2) 체적 전하 밀도(Volume Charge Density)
- \( \rho_v (C/m^3) \) : 점전하가 3차원 체적에 분포
- 총 전하량 : \( Q=\int_{vol}dQ=\int_{vol}\rho_v dv \)
- 전계의 세기 : \( \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\mathbf{a_r} \)
(3) 선전하 밀도(Line Charge Density)
- \( \rho_L (C/m) \) : 점전하가 도선과 같이 선의 형태로 분포
- 총 전하량 : \( Q=\int_{l}dQ=\int_{l}\rho_l dl \)
- 전계의 세기 : \( \mathbf{E}= \frac{\rho_L }{2\pi\epsilon_0 \rho} \mathbf{a_\rho} \)
(4) 면전하 밀도(Sheet of Charge Density)
- \( \rho_s (C/m^2) \) : 점전하가 도선과 같이 선의 형태로 분포
- 총 전하량 : \( Q=\int_{s}dQ=\int_{s}\rho_s ds \)
- 전계의 세기 : \( \mathbf{E}= \frac{\rho_s }{2\epsilon_0}\mathbf{a_N} \)
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