Chapter 2-2 전계의 세기(Electric Field Intensity)

1. 전계의 세기 (Electric Field Intensity)

쿨롱의 법칙에 이어 전계의 세기 라는 물리량에 대해 알아보자.

 

 

1) 전계의 세기에 대한 정의

 

그림1. 쿨롱의 법칙

 

(1) 쿨롱의 법칙

• 한 전하 \( Q_1 \) 을 어떤 위치에 고정하고, 다른 제 2의 전하 \( Q_2 \) 를 \( Q_1 \) 주위에서 천천히 이동시킬 때, 어떤 위치에서도 \( Q_2 \) 전하는 \( Q_1 \) 전하에 의해 반드시 힘을 받는다.
• 이 힘의 크기와 방향은 \( Q_2 \) 의 위치에 따라 변한다.
• 이는 \( Q_1 \) 에 의해 어떤 힘의 Field(계)가 존재함을 의미한다.
•  \( Q_2 \) 를 시험 전하  \( Q_t \) 라 하면 이 전하에 작용하는 힘은 다음과 같다.
  • \( \quad F_t = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q_1 Q_t }{R_{1t}^2}\mathbf{a_{1t}} \)

 

(2) 전계의 세기(Electric Field Intensity)의 정의

• 전계란 전하가 공간에서 힘의 계(Field)를 형성하고, 이 전계에 의해 다른 전하가 받는 힘(전계의 세기)을 나타내는 개념이다.
• 쿨롱의 법칙에서 \( Q_1 \) 에 의해 어떤 힘의 계가 존재함을 알고 있다.
• 쿨롱의 법칙 즉, \( Q_1, Q_t \) 두 전하 사이에 작용하는 힘이 아닌 \( Q_1 \) 에 의해 \( Q_t \) 에 작용하는 힘에 대해 생각해보면 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( \quad \frac{ F_t }{Q_t} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q_1 }{R_{1t}^2}\mathbf{a_{1t}} \)
• \( Q_1 \) 에 의해 \( Q_t \) 에 작용하는 힘은 \( Q_t \) 당 작용하는 힘과 같다고 볼 수 있다.
• 이 때 전하 \( Q_1 \) 에 의한 힘의 계를 전계 \( E \) 라고 한다.
• 전계는 특정 전하의 크기에 의존하는 것이 아니므로, 시험 전하를 단위 전하(1C)로 생각할 수 있다
• 따라서 전계의 세기\( \mathbf{E} \) 는 한 전하에 의해 단위 전하가 받는 벡터 힘으로 정의된다.
  • \( \quad \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q}{R^2}\mathbf{a_{r}} \)
  • \( \quad  R \) : \( Q \)가 높여 있는 점에서 \( \mathbf{E} \)를 구하고자 하는 점까지의 선분 벡터\( \mathbf{R} \)의 크기
  • \( \quad  \mathbf{a_r} \) : 벡터\( \mathbf{R} \)의 단위 벡터

 

(3) 전계의 세기(Electric Field Intensity)의 단위

• \( (N/C), (J/C), (N*m/C) \) : 단위 전하당 작용하는 힘 
• \( (V/m) \) : 새로운 차원의 양 V를 적용한 단위로 주로 사용하는 단위

 

 

2) 전계의 세기에 대한 특징

 

그림2. 전계의 세기

 

• 방사상 성분(radial component)만을 가진다.
  • 중심에서 바깥 방향으로 나가는 직선 성분만을 의미
  • 구의 모든 방향으로 균일하게 퍼진다는 의미
  • 점전하 \( Q \)가 원점에 있다고 가정하면 구 대칭적으로 퍼진다는 의미
• 역자승법칙 관계가 성립한다.
  • 거리에 대해 제곱 반비례 관계를 의미 \( E \propto \frac{1}{r^2} \)
• 점전하가 형성하는 전계는 중심으로부터 퍼지는 성질을 가지며, 거리가 멀어질수록 전계의 세기는 거리의 제곱에 반비례한다.

 

 

3) 점전하에 의한 전계의 세기

(1) 구좌표계의 원점에 위치한 점전하에 의한 전계의 세기

• 구의 모든 방향으로 균일하게 퍼진다는 전계의 세기의 특징에서 구좌표계를 기본으로 하는 것을 알 수 있다.
• 방사상 성분만이 존재한다는 것은 반지름 방향만 존재한다는 것이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( \quad \mathbf{a_R} \) : 방사상의 단위벡터 , \( R =r \) 
  • \( \quad \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q}{R^2}\mathbf{a_{r}} \)
  • \( \quad \mathbf{E} = E_r\mathbf{a_r}+ E_\theta\mathbf{a_\theta } + E_\phi \mathbf{a_\phi }  \)
  • \( \quad E_r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q}{r^2}  \)

 

(2) 직각좌표계에서의  점전하에 의한 전계의 세기

• \( \quad \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}  \frac{Q}{R^2}\mathbf{a_{r}} \)
• 위 식에 대해 직각좌표계로 변환하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{R} = \mathbf{r} = x\mathbf{a_x} + y\mathbf{a_y} + z\mathbf{a_z}, $$ $$ \mathbf{a_R} = \mathbf{a_r} = \frac{x\mathbf{a_x} + y\mathbf{a_y} + z\mathbf{a_z}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $$ $$ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{x^2 + y^2 + z^2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \mathbf{a_x} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \mathbf{a_y} + \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \mathbf{a_z} \right) $$

• 이 표현은 구좌표계에서의 전계의 세기보다 훨씬 복잡하지만 특수한 경우 이 좌표계를 사용해야 한다.

 

(3) 특수한 경우 : 점전하가 원점 이외에 위치하는 경우

 

그림3. 점전하가 원점 이외에 위치하는 경우

 

• 이를 수식으로 풀이하면 다음과 같다.

$$ \text{점전하 위치 :} \quad \mathbf{r'} = x' \mathbf{a_x} + y' \mathbf{a_y} + z' \mathbf{a_z} $$ $$ \text{전계를 측정하는 점의 위치:} \quad \mathbf{r} = x \mathbf{a_x} + y \mathbf{a_y} + z \mathbf{a_z} $$ $$ \text{전하 }Q \text{와 측정점 }P \text{사이의 거리 벡터를 } \mathbf{R}\text{ 이라고 하면} $$ $$ \mathbf{R} = \mathbf{r - r'} = (x - x')\mathbf{a_x} + (y - y')\mathbf{a_y} + (z - z')\mathbf{a_z} $$ $$ \mathbf{a_R} = \frac{\mathbf{r - r'}}{|\mathbf{r - r'}|} $$ $$ |\mathbf{R}| = |\mathbf{r - r'}| = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2} $$ $$ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2} \mathbf{a_R} $$ $$ \textbf{And then,} $$ $$ \mathbf{E(r)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{|\mathbf{r - r'}|^2} \frac{\mathbf{r - r'}}{|\mathbf{r - r'}|}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q (\mathbf{r - r'})}{|\mathbf{r - r'}|^3} $$ $$ = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{[(x - x')\mathbf{a_x} + (y - y')\mathbf{a_y} + (z - z')\mathbf{a_z}]} {\left[ (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2 \right)]^{\frac{3}{2}}} $$

 

(4) 두 점전하에 의한 전계의 세기

 

그림4. 두 점전하에 의한 전계의 세기

 

• \( r_1, r_2 \) 에 있는 두 점전하 \( Q_1, Q_2 \) 에 의한 \( Q_t \) 점에서의 전계의 세기
• \( Q_1, Q_2 \) 에가 각각 단독으로  \( Q_t \) 에 작용하는 힘의 합과 동일 
  • Coulomb's Force : 선형성
  • \( \mathbf{a_1} = \mathbf{r - r_1} \) 의 방향의 단위 벡터
  • \( \mathbf{a_2} = \mathbf{r - r_2} \) 의 방향의 단위 벡터

$$ \mathbf{E(r)} = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r - r_1}|^2} \mathbf{a_1} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r - r_2}|^2} \mathbf{a_2} $$