Chapter 2-3 연속적인 전하 분포에 의한 전계(Continuous Charge Distribution)

 

 

1. 연속적인 전하 분포

 

그림1. 연속적인 전하 분포의 종류

 

이제부터 무수히 많은 전하로 채워진 공간 영역에 대해 알아보자

• 전하 분포
  • 어떤 공간 내에 무수히 많은 전하가 있는 상태

• 연속 전하 분포
  • 전하 분포가 균일하게 분포한 상태
  • 연속 전하 분포를 전하 밀도로 표현할 수 있고 공간에 따라 체적 전하밀도, 선전하밀도, 면전하밀도라고 표현

• 대칭전하 분포
  
  • 연속 전하 분포가 특정한 대칭성을 가지는 상태
  • 전하가 일정한 패턴을 이루며 분포하는 것을 의미
  • 전계를 구할 때 좌표 변환을 활용하거나 다음 포스팅에서 다룰 가우스 법칙을 적용하여 쉽게 계산 가능
  • 특정 좌표계(구좌표계, 원통좌표계, 직각좌표계)를 사용하면 복잡한 적분 없이 쉽게 해석 가능

 

 

1) 체적 전하 밀도(Volume Charge Density)

(1) 체적 전하 밀도의 정의

• 무수히 많은 점전하가 3차원 공간 즉, 체적(Volume) 내에 분포하는 것으로, 단위 체적당 전하량을 의미한다.
• 표현 : ${\rho }_v(C/m^3)$ 

 

(2) 체적 전하 밀도의 총 전하량

• 체적 전하밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
  • ${\rho }_v={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }v\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }v}=\frac{dQ}{dv}}$ 
• 어떤 유한 체적내 총 전하량은 그 체적 전체에 걸쳐 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
  • $dQ={\rho }_{v}dv\to Q={\int }_{vol}dQ={\int }_{vol}{\rho }_{v}dv$
• 일반적으로 적분 기호를 3개 사용하나, volume을 사용하여 하나로 표현한다.
  • ${\int }_{vol}dv=\iiint dv$

 

 

2) 선전하 밀도(Line Charge Density)

 

그림2. 선전하 밀도에 의한 전계

 

(1) 선전하 밀도의 정의

• 선전하 : 무수히 많은 점전하가 극히 작은 반경으로 대전된 도체와 같이 필라멘트 분포를 갖는 전하
• 선전하 밀도
  • 그림2와 같이 원통형 좌표계에서 z축의 $(-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$) 범위에 대해 전하가 균일하게 분포되어 있는 선전하
  • 선을 따라 전하가 연속적으로 분포하며 단위 길이당 전하량을 의미한다.
• 좌표계 : 원통좌표계

 

(2) 선전하 밀도의 총 전하량

• 선전하 밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
  
  • ${\rho }_l={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }v\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }l}=\frac{dQ}{dl}}$ 
• 어떤 유한 구간내 총 전하량은 그 무한장 직선에 걸쳐 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
  • $dQ={\rho }_{l}dl\to Q={\int }_{l}dQ={\int }_l{\rho }_{l}dv$

 

(3) 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 

• 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 성질
  • $\mathbf{E}=E_{\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }+E_{\varphi }{\mathbf{a}}_{\varphi }+E_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}$
  • 전계의 세기는 방사상 성분만을 갖는다.  $\to E_{\varphi }{\mathbf{a}}_{\varphi }=0$ 
  • 전계의 세기의 축성분은 상쇄된다.  $\to E_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=0$ 
  • 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 : $E_{\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }$ 성분만을 가지므로 $\rho$ 만의 함수
  • 따라서, $\mathbf{E}=E_{\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }$ 로 정의된다.
• 선전하 밀도에 의한 전계의 세기의 축성분 상쇄 원리
  • z축 상의 어떤 점 $P$ 를 기준으로 위쪽 전하 $d{q}_1$에 의한 전계 ${\mathbf{E}}_{\mathbf{z}\mathbf{1}}$
  • 점 $P$ 를 기준으로 동일 거리의 아래쪽 전하 $d{q}_2$ 에 의한 전계 ${\mathbf{E}}_{\mathbf{z}\mathbf{2}}$
  • 이 두 전하가 만드는 전계의 크기는 갖지만 방향이 반대이므로 서로 상쇄된다.

 

(4) 선전하 밀도에 의한 전계의 세기 정의 유도

• 그림2와 같이 y축 상의 한 점 $P(0,y,0)$ 에 대해 전계를 구해보자.
• 미소 선전하(점전하) 즉, 미소 구간 $d{z}^{\prime }$ 에 존재하는 전하량 : $dQ={\rho }_{L}d{z}^{\prime }$ 이다.
• 미소 선전하에 의한 전계의 세기를 일반식으로부터 유도하여 정의하면 다음과 같다.
  • 미소 선전하(점전하) 벡터 $\mathbf{r}$ 는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}& =y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}},\mathbf{r}=A_{\rho }=A_x\cos \varphi +A_y\sin \varphi =y{\mathbf{a}}_{\rho }=\rho {\mathbf{a}}_{\rho }(\because x=0,\varphi =\frac{\pi }{2},\rho =y)\end{array}$$

• • 전계의 세기 계산 지점 벡터 ${\mathbf{r}}^{\prime }$ 는 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}{\mathbf{r}}^{\prime }=z^{\prime }{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\end{array}$$

• • 미소 선전하에 의한 전계의 세기의 선분 벡터 $\mathbf{R}$ 와 크기는 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}\mathbf{R}=\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }=\rho {\mathbf{a}}_{\rho }-z^{\prime }{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}},|\mathbf{R}|=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|=\sqrt{{\rho }^2+z^{\prime 2}}\end{array}$$

• • 전계의 세기 일반식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r^2}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}\end{array}$$

• • 선전하분포를 고려하여 미소 전기장을 일반식에 대입하면 다음과 같다.

$$d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{{\rho }_{L}d{z}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^2}\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{{\rho }_{L}d{z}^{\prime }}{{({\rho }^2+z^{\prime 2})}^{3/2}}(\rho {\mathbf{a}}_{\rho }-z^{\prime }{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})$$

• • 선전하 밀도에 의한 전계의 성분인 $E_{\rho }$ 성분만 고려하여 정리하면 다음과 같다.

$$d{\mathbf{E}}_{\rho }=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{{\rho }_{L}d{z}^{\prime }}{{({\rho }^2+z^{\prime 2})}^{3/2}}(\rho {\mathbf{a}}_{\rho })$$

• • 전체 전계의 세기는 미소 전계의 적분을 통해 계산하고, $F_{even}:f(x)=f(-x)$  활용하여 적분 범위를 변환하면 다음과 같다.

$${\mathbf{E}}_{\rho }=\frac{\rho {\rho }_L}{4\pi {ϵ}_0}\cdot 2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{d{z}^{\prime }}{{({\rho }^2+z^{\prime 2})}^{3/2}}$$

• • 적분을 하기 위해 삼각 치환을 이용하면 다음과 같다.

$$\begin{gathered} z^{\prime }=\rho \tan \theta ,d{z}^{\prime }=\rho {\sec }^2\theta d\theta ,d{z}^{\prime }:[0,+\mathrm{\infty })\to d\theta :[0,\frac{\pi }{2}] \\ {\rho }^2+z^{\prime 2}={\rho }^2(1+{\tan }^2\theta )={\rho }^2{\sec }^2\theta \end{gathered}$$

• • 삼각 치환을 적용하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{E}}_{\rho }& =\frac{\rho {\rho }_L}{4\pi {ϵ}_0}\cdot 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\rho {\sec }^2\theta d\theta }{({\rho }^2{\sec }^2\theta {)}^{3/2}}=\frac{\rho {\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\rho {\sec }^2\theta d\theta }{{\rho }^3{\sec }^3\theta }\\ & =\frac{\rho {\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{1}{{\rho }^2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{\sec \theta }=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta d\theta \end{array}$$

• • 적분식에 대입하고 단순화하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}{\mathbf{E}}_{\rho }=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }(\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0)=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }(\because \sin \frac{\pi }{2}=1,\sin 0=0)\end{array}$$

• • 적분을 수행하면 다음과 같은 선전하에 의한 전계의 세기가 정의된다.

$$\begin{array}{r}{\mathbf{E}}_{\rho }=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }\end{array}$$

• • 선전하의 경우 전계의 세기는 거리에 반비례한다.

 

 

3) 면전하 밀도에 의한 전계(Sheet of Charge Density)

 

그림3. 면전하 밀도에 의한 전계

 

(1) 면전하 밀도의 정의

• 면전하 : 무수히 많은 점전하가 금속판과 같이 면 위에 분포한 전하
• 면전하 밀도
  • 그림3과 같이 직각 좌표계의 yz 무한 평면에 전하가 균일하게 분포되어 있는 면전하
  • 무한 대전판에 전하가 연속적으로 분포하며 단위 면적당 전하량을 의미한다.
  • 주로 스트립 전송 라인 또는 병렬 플레이트 커패시터의 도체를 근사화하는데 사용된다.
• 좌표계 : 직각좌표계

 

(2) 면전하 밀도의 총 전하량

• 면전하 밀도를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
  
  • ${\rho }_s={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }s}=\frac{dQ}{ds}}$ 
• 어떤 유한 면적 내 총 전하량은 그 무한 대전판의 면적에 대한 적분을 통해 얻으므로 다음과 같다.
  • $dQ={\rho }_{s}ds\to Q={\int }_{s}dQ={\int }_s{\rho }_{s}ds$

 

(3) 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 

• 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 성질
  • $\mathbf{E}=E_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+E_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+E_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}$
  • 전계의 세기는 방사상 성분만을 갖는다.
  • 전계의 세기의 축성분은 상쇄된다.  $\to E_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}},E_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=0$ 
  • 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 : $E_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}$ 성분만을 가지므로 $x$ 만의 함수
  • 따라서, $\mathbf{E}=E_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}$ 로 정의된다.
• 면전하 밀도에 의한 전계의 세기의 축성분 상쇄 원리
  • 그림 3과 같이 무한 대전판(전하 시트)를 yz평면에 놓고 대칭성을 고려하여 생각해보자
  • yz 평면 즉, 무한 평면에 있다는 것은 선전하 밀도에서 설명한 축성분의 상쇄원리와 같이 y, z 성분이 상쇄되어 0이 된다는 것을 의미한다.

 

(4) 면전하 밀도에 의한 전계의 세기 정의 유도

• 그림3과 같이 yz평면에 존재하는 면전하밀도에 의한 x축 상의 점$P(x,0,0)$에 대해 전계를 구해보자.
• 대전판을 미소폭($d{y}^{\prime }$)을 갖는 스트립으로 나누면 해당 스트립은 선전하와 동일하다.
• 즉, 미소폭($d{y}^{\prime }$)에 존재하는 선전하 밀도 : ${\rho }_l={\rho }_{s}d{y}^{\prime }$
• 선전하에 의한 전계의 세기를 이용하여 면전하 밀도에 의한 전계의 세기를 정의하면 다음과 같다.
  • 선전하 밀도에 의한 전계의 세기식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}{\mathbf{E}}_{\rho }=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }\end{array}$$

• • 선전하 ${\rho }_l={\rho }_{s}d{y}^{\prime }$ 로부터 측정점 $P(x,0,0)$ 까지의 거리는 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}R=\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}\end{array}$$

• • 선전하 ${\rho }_l={\rho }_{s}d{y}^{\prime }$ 로부터 측정점 $P(x,0,0)$ 까지 선을 그어보자.
  • 이어진 선이 선전하 ${\rho }_l={\rho }_{s}d{y}^{\prime }$ 로부터 측정점 $P(x,0,0)$ 에 대한 전계의 세기 $dE$ 에 대한 크기이다.

$$\begin{array}{r}dE=\frac{{\rho }_l}{2\pi {ϵ}_0\rho }=\frac{{\rho }_{s}d{y}^{\prime }}{2\pi {ϵ}_0\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}}\end{array}$$

• • 이어진 선과 x축에 대한 사잇각을 $\theta$ 라고 하자.
  • 이 때 면전하밀도에 의한 전계의 세기 성질에 의해 $E_x$ 성분만 고려여 생각해볼 수 있다.
  • 삼각비를 이용하여 $E_x$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{r}d{E}_x=dE\cos \theta =\frac{{\rho }_{s}d{y}^{\prime }}{2\pi {ϵ}_0\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}}\cos \theta \end{array}$$

• • 삼각비 $\cos \theta$ 를 x, y로 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}d{E}_x=\frac{{\rho }_{s}d{y}^{\prime }}{2\pi {ϵ}_0\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}}\cos \theta =\frac{{\rho }_{s}d{y}^{\prime }}{2\pi {ϵ}_0\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^{\prime 2}}}=\frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}\frac{xd{y}^{\prime }}{x^2+y^{\prime 2}}\end{array}$$

• • 전체 전계의 세기는 평면 전체를 구성하는 미소 전계의 적분을 통해 계산하므로 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}{\mathbf{E}}_{\mathbf{x}}=\frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{xd{y}^{\prime }}{x^2+y^{\prime 2}}\end{array}$$

• • 적분을 하기 위해 유리 함수의 적분 공식을 이용하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\to \frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{xd{y}^{\prime }}{x^2+y^{\prime 2}}=\frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}x\frac{1}{x}\arctan \frac{y^{\prime }}{x}\end{array}$$

• • 정리하여 구간에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{r}{E}_x=\frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}(\arctan +\mathrm{\infty }-\arctan -\mathrm{\infty })=\frac{{\rho }_s}{2\pi {ϵ}_0}(\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2}))=\frac{{\rho }_s}{2{ϵ}_0}\end{array}$$

• • 대전판에서 수직(normal)로 나가는 방향이므로 단위벡터 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{N}}$ 사용하여 면전하에 의한 전계의 세기가 정의된다.

$$\begin{array}{r}\mathbf{E}=\frac{{\rho }_s}{2{ϵ}_0}{\mathbf{a}}_{\mathbf{N}}\end{array}$$

• • 면전하의 경우 측정하는 점의 위치에 관계 없이 크기와 방향이 일정하다.

 

(5) 두 무한 대전판이 존재할 때 위치에 따른 전계의 세기

그림4. 두 무한 대전판의 위치에 따른 전계의 세기

 

• 그림4와 같이 $x=a$ 평면에 $-{\rho }_s$ 를 갖는 두 번째 무한 대전판이 위치한다면 위치에 따라 상쇄되거나, 합쳐져서 표와 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

 

4) 연속적인 전하 분포 정리

(1) 점전하(Point Charge)

• 총 전하량 : $Q=\sum Q_n$
• 전계의 세기 : $\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r^2}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}$

 

(2) 체적 전하 밀도(Volume Charge Density)

• ${\rho }_v(C/m^3)$ : 점전하가 3차원 체적에 분포
• 총 전하량 : $Q={\int }_{vol}dQ={\int }_{vol}{\rho }_{v}dv$
• 전계의 세기 : $\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r^2}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}$

 

(3) 선전하 밀도(Line Charge Density)

• ${\rho }_L(C/m)$ : 점전하가 도선과 같이 선의 형태로 분포
• 총 전하량 : $Q={\int }_{l}dQ={\int }_l{\rho }_{l}dl$
• 전계의 세기 : $\mathbf{E}=\frac{{\rho }_L}{2\pi {ϵ}_0\rho }{\mathbf{a}}_{\rho }$

 

(4) 면전하 밀도(Sheet of Charge Density)

• ${\rho }_s(C/m^2)$ : 점전하가 도선과 같이 선의 형태로 분포
• 총 전하량 : $Q={\int }_{s}dQ={\int }_s{\rho }_{s}ds$
• 전계의 세기 : $\mathbf{E}=\frac{{\rho }_s}{2{ϵ}_0}{\mathbf{a}}_{\mathbf{N}}$