Chapter 2-1 쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)

1. 쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)

1장에서 전자기학이 다루어지는 공간과 좌표계에 대해 이해했다면, 이제 본격적으로 전자기학의 기본 물리량을 알아갈 예정이다.

2장에서는 전기장의 가장 기초적인 개념인 쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)과 전계의 세기(Electric Field Intensity)를 중심으로 학습한다.
이를 통해 전하 사이의 상호작용을 이해하고, 공간 내에서 전기장이 어떻게 형성되는지 다룰 예정이다.
또한, 연속적인 전하 분포(체적 전하, 선전하, 면전하)에 의해 생성되는 전기장을 해석하는 방법을 배울 예정이다.

즉, 2장은 Electric Field의 개념을 깊이 있게 이해하고, 다양한 전하 분포에서 전기장을 계산하는 기본적인 도구를 익히는 중요한 장이다.

 

 

1) 쿨롱의 실험

 

그림1. 비틀림 진자(torsion pendulum)

 

프랑스의 물리학자 샤를 오귀스탱 드 쿨롱(Charles-Augustin de Coulomb)은 1785년에 전하 사이의 힘을 정량적으로 측정하는 실험을 수행하여 쿨롱의 법칙(Coulomb’s Law)을 발견했다.

 

쿨롱이 사용한 비틀림 진자의 구조를 보면 가는 줄에 바늘의 중간 부분을 매달고 바늘의 끝 부분에는 대전된 공을 매달고 바늘의 반대편에는 무게가 같은 다른 공을 매달아 수평을 맞춰줬다.

대전된 공 주변에 다른 대전된 물체를 가져다 대면 바늘이 회전을 시작할 것이고 얼마나 각도가 벌어지느냐를 통해서 두 대전된 물체 사이에 작용하는 힘을 구하는 원리를 이용했다.

실험 결과 쿨롱은 전기적인 힘에는 인력과 척력이 존재하며 두 종류의 새로운 물성, 전하를 도입하면 다음과 같이 인력과 척력을 설명할 수 있음을 깨달았다.

같은 극성의 전하끼리는 서로 밀어내는 척력을 발휘하며 다른 극성의 전하의 경우 인력을 발휘한다.

 

 

2) 쿨롱의 법칙

(1) 공식

그림2. 두 전하 사이 작용하는 힘의 관계

 

위 실험 결과를 식으로 정리해서 표현하면 다음과 같다.

 

진공 또는 자유공간(free space) 내 두 개의 작은 전하량이 존재할 때

(단, 물체 사이 거리 \( R >> \) 물체 직경 \( d \) ) 

두 전하 사이 작용하는 힘은 다음과 같은 관계를 갖는다

• \( F \propto Q_1Q_2 \) : 힘은 두 전하량과 비례한다.
• \( F \propto \frac{1}{R^2} \) : 힘은 두 전하 사이 거리의 제곱에 반비례한다.

따라서 다음과 같은 쿨롱의 법칙에 대한 수식이 정의된다.

• \( F = k \frac{Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{Q_1 Q_2}{ 4\pi\epsilon_0 R^2} \)
  • \( F : Newton (N) \) - 힘
  • \( Q_1, Q_2 : Coulomb (C) \) - 전하량
  • \( R :  m \) - 두 전하 사이 거리
  • \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \) - 비례상수
  • \( \epsilon_0 = 8.854 \times10^{-12} [F/m] \) - 자유공간에서의 유전율(permittivity)

 

(2) 쿨롱의 법칙 공식의 벡터 표현

 

그림3. 쿨롱의 법칙

 

쿨롱의 힘 : 두 전하를 잇는 선을 따라 작용하는 힘

두 전하의 부포가 같을 때 : 척력

두 전하의 부포가 반대일 때 : 인력

 

그림3에서 힘의 방향은 \( Q_1, Q_2 \) 가 같은 부호일 때의 방향으로 정의 : 척력

• \( F_2 = \frac{1}{ 4\pi\epsilon_0} \frac{ Q_1 Q_2 }{R_{12}^2}\mathbf{a_{12}} \)
• \( \mathbf{a_{12}} \) : \( R_{12} \) 의 단위 벡터 \( \to \mathbf{a_{12}} = \frac{R_{12}}{\left | R_{12}\right |} = \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{\left | \mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} \right |} \)
• \( R_{12} \) : \( r_1 \)의 경로와 \( R_{12} \)의 경로를 합친 것이 \( r_2 \)의 경로라고 생각하면 벡터의 대수 관계 이해에 도움이 된다

 

이를 통해 다음과 같은 특징을 얻을 수 있다.

• 쿨롱의 법칙은 선형
  • 여러 개의 전하가 하나의 특정 전하에 미치는 전체 힘은 각 전하에 의한 힘을 합한 것과 동일하다.
• 두 전하에 각각 작용하는 힘의 방향은 서로 반대이나, 크기는 같다
  • \( \mathbf{a_{12}} = - \mathbf{a_{21}} \)

 

(3) 기타

1N의 크기 : 1kg의 질량을 \( 1m/sec^2 \) 의 가속도로 가속하는데 필요한 힘

1C의 크기 : \(6 \times 10^18 \) 개의 전자가 갖는 전하량 -1C와 동일

1C의 전하량을 갖는 물체 사이 간격 1m에 작용하는 힘 : \( 9 \times 10^9N \) 으로 약 100만 톤 -> 1C 는 대단히 큰 전하의 단위