Chapter 3-2 가우스 법칙(Gauss's Law)

1. 가우스 법칙(Gauss's Law)

패러데이 실험을 통해 전속밀도라는 물리량을 정의했다, 이제 전속 밀도와 전하의 관계를 일반화하기 위해 가우스 법칙에 대해 알아보자.

 

 

1) 가우스 법칙

 

그림1. 가우스 법칙의 개념

 

(1) 가우스 법칙의 개념

• 패러데이의 실험 결과는 전도된 두 구 사이에 있는 가상의 구형 표면을 통과하는 전속이 그 가상의 표면 내에 포함된 전하와 같다는 실험 법칙으로 요약할 수 있다.
• 따라서, 패러데이의 실험을 일반화하면 다음과 같은 가우스 법칙의 개념이 도출된다.
  • 어떤 폐곡면을 통해 밖으로 나가는 총 전속은 그 폐곡면 내의 총 전하량과 같다.

 

(2) 가우스 법칙의 공식

• 표면상의 모든 점에서 어떤 전속밀도 값 \( D_s \) 존재
• \( D_s \) 의 s는 표면에서 \( D \) 의 값을 의미
• \( D_s \) 의 크기와 방향은 표면상의 위치마다 다름
• 그림1과 같이 폐곡면 상의 미소면적소 고려하여 정리하면 다음과 같다.
  • 면적의 크기가 매우 작은 경우 평면으로 생각할 수 있다.
  • 미소면적소의 크기 : \( \Delta S \)
  • 미소면적소의 방향 : 표면적에 수직, 즉 폐곡면 밖으로 나가는 법선(normal) 방향
  • \( \theta \) : 점 P에서 \( D_s, \Delta S \) 사이의 각
  • \( \Delta \Psi \) : \( \Delta S \) 를 통과하는 전속 즉,  \( \ D_s \)의 수직 성분 \( \ D_s \cos \theta \) 과 \( \Delta S \) 의 dot product  
  • \( \Delta \Psi = D_{s.normal} \Delta S = D_s\cos\theta\Delta S = \mathbf{D_s} \bullet \mathbf{\Delta S} \)
• 폐곡면(Gauss 표면) 전체를 통하는 모든 전속은 다음과 같다.
  
  • \( \mathbf{S} \) 에 대한 면적 적분을 통해 폐곡면 면적을 통과하는 전속을 구한다.
  • \( \Psi = \int d\Psi = \oint_{closed surface} \mathbf{D_s} \bullet d\mathbf{S} \)
  • \( d\mathbf{S} \) 의 크기 : \( dxdy, \quad \rho d\phi dz,  \quad  r^2\sin\theta d\theta d\phi \)
• 가우스 법칙(Gauss's Law)은 다음과 같이 정의된다.
  • \( Q = \oint \mathbf{D_s} \bullet d\mathbf{S} \)
• 폐곡면 내의 전하는 다음과 같다.
  • \( \text{point charge  } Q = \sum Q_n \)
  • \( \text{volume charge  } Q = \int \rho_v dv \)
  • \( \text{line charge  } Q = \int \rho_L dL \)
  • \( \text{sheet of charge  } Q = \int \rho_s ds \)

 

(3) 가우스 법칙의 수학적 증명

 

그림2. 가우스 법칙의 수학적 증명

 

• 그림2와 같이 원점에 점 전하 Q가 존재하며, 반경 a인 구 표면을 통과해 나가는 전체 전속을 구해보자.
• 전체 전속에 대한 관련식을 정리해보면 다음과 같다.
  • \( \Psi = \oint_s \mathbf{D_s} \bullet d\mathbf{S}=\int_{vol} \rho_v dv=Q \)
  • \( \mathbf{D_s}=\frac{Q}{4\pi a^2}\mathbf{a_r} \)
  • \( d\mathbf{S}= a^2\sin\theta d\theta d\phi\mathbf{a_r} \)
  • \( \mathbf{D_s} \bullet d\mathbf{S}=\frac{Q}{4\pi a^2}\mathbf{a_r} \bullet a^2\sin\theta d\theta d\phi\mathbf{a_r} = \frac{Q}{4\pi}\sin\theta d\theta d\phi \)
• 가우스 법칙을 적용하여 정리하면 다음과 같다.
  • \(\oint_s \mathbf{D_s} \bullet d\mathbf{S}=\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\frac{Q}{4\pi}\sin\theta d\theta d\phi \)
  • \( \theta \) : 위도를 뜻하므로 범위가 \( [0,\pi] \) 로 정의된다.
  • \( \phi \) : 경도를 뜻하므로 범위가 \( [0,2\pi] \) 로 정의된다.
• 첫번째로 \( \theta \) 에 대해 적분하면 다음과 같다.
  • \(\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\frac{Q}{4\pi}\sin\theta d\theta d\phi = \frac{Q}{4\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}(-\cos\theta)|_{0}^{\pi}d\phi = \frac{Q}{4\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}2d\phi= \frac{Q}{2\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}d\phi\)
• 두번째로 \( \phi \) 에 대해 적분하면 다음과 같다.
  • \( \frac{Q}{2\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}d\phi = \frac{Q}{2\pi}\phi|_{0}^{2\pi}=Q \)
• 따라서, 폐곡면을 통과하는 전체 전속은 Q가 되어 가우스 법칙이 증면된다.