Chapter 3-4 가우스 법칙의 응용 : 미소체적소

 

 

1. 가우스 법칙의 응용 : 미소체적소

이전 포스팅에 이어 이번에는 대칭성을 갖지 않는 경우에 대해 가우스 법칙을 이용하여 전속밀도를 구하는 방법에 대해 알아보자.

 

 

1) 가우스 법칙 응용 예시 : 미소체적소(Differential Volume Element)

 

그림1. 가우스 법칙의 응용 예시 : 미소체적소

 

(1) 미소체적소를 이용한 가우스 폐곡면  설정 조건

• 전하 분포가 대칭성을 갖지 않는 경우 가우스 폐곡면을 선택할 수 없다.
• 따라서, 극히 작은 폐곡면 즉, 미소체적소를 가우스 표면으로 선택하여 해당 폐곡면에서 대칭성을 근사적으로 유지해보자.
• 미소체적소의 전속밀도는 다음과 같다.
  • \( \mathbf{D_0} = D_{x0}\mathbf{a_x}+ D_{y0}\mathbf{a_y}+ D_{z0}\mathbf{a_z} \)
• 그림1과 같이 미소체적 중심에 점 P가 있고 변의 길이가 각각 \( \Delta x, \Delta y, \Delta z \) 이다.
  • \( Q = \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S}  \)
  • \( \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} =\int_{front} \text{''}+\int_{back} \text{''}+\int_{top} \text{''}+\int_{bottom} \text{''}+\int_{left} \text{''}+\int_{right} \text{''}\)

 

(2) 미소체적소의 앞면( \( \Delta \mathbf{S}_{front} \) )에 대한 가우스 법칙

• 우선, 이 중 앞면에 대해서만 생각해보자.
• 앞면의 면적은 극소이므로 이 면적에서 \( \mathbf{D} \)는 일정 즉, 상수이므로 다음과 같이 표현된다.
  • \( \int_{front} \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq \mathbf{D}_{front} \Delta \mathbf{S}_{front} \)
• 앞면을 통과하는 전속 밀도와 앞면에 대해 정리하면 다음과 같다.
  • \( \mathbf{D}_{front} = D_{x,front}\mathbf{a_x}+ D_{y,front}\mathbf{a_y}+ D_{z,front}\mathbf{a_z}  \)
  • \( \Delta \mathbf{S}_{front} = \Delta y \Delta z \mathbf{a_x} \)
  • \( \int_{front} \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq \mathbf{D}_{front} \Delta \mathbf{S}_{front} \doteq D_{x,front}\Delta y \Delta z \)
• 여기서, \( D_{x,front} \) 에 대해 생각해보자 이 부분은  \( D_x \) 을 근사화하는 것이 목적이다.
  • \( D_{x, front} \doteq  D_{x0} + \frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x} \)
  • \( D_{x0} \)  : 점 P에서의 \( D_x \) 값을 의미한다.
  • 앞면을 통과하는 지점은 점 P로부터 \( \frac{\Delta x}{2} \) 거리 만큼 떨어져있다.
  • 앞면을 통과할 때 \( D_{x} \) 도 y, z에 따라 변한다.
  • 따라서 \( D_{x} \) 의 변화율을 x에 대한 편미분계수 \( \frac{\partial D_x}{\partial x} \) 를 추가로 고려해야 한다.
• 미소체적소의 앞면에 대한 가우스 법칙을 정리하면 다음과 같다.
  • \( \int_{front} \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq D_{x,front}\Delta y \Delta z \doteq (D_{x0} +\frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x})\Delta y \Delta z \)

 

(3) 미소체적소의 뒷면( \( \Delta \mathbf{S}_{back} \) )에 대한 가우스 법칙

• 앞면 내용을 고려해서 정리하면 다음과 같다.
  • \( \int_{back} \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq \mathbf{D}_{back} \bullet (-\Delta y \Delta z \mathbf{a_x})\doteq -D_{x,back}\Delta y \Delta z \)
• 여기서 \( D_{x,back} \) 은 앞면과 달리 - 방향으로 거리가 떨어져 있으므로 다음과 같다.
  • \( D_{x, back} \doteq  D_{x0} - \frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x} \)
• 따라서 정리하면 다음과 같다.
  • \( \int_{back} \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq \mathbf{D}_{back} \bullet (-\Delta y \Delta z \mathbf{a_x})\doteq -D_{x,back}\Delta y \Delta z \doteq (-D_{x0}+\frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x} )\Delta y \Delta z \)

 

(4) 미소체적소의 앞-뒷면 병합

• 앞면과 뒷면의 전속 방향이 반대 방향이므로 다음과 같이 합쳐서 표현할 수 있다.
  • \( \int_{front}+\int_{back} \doteq ((D_{x0} +\frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x})\Delta y \Delta z)((-D_{x0}+\frac{\Delta x}{2} \frac{\partial D_x}{\partial x} )\Delta y \Delta z) \doteq \frac{\partial D_x}{\partial x}\Delta x\Delta y \Delta z \)

 

(5) 미소체적소의 양측면 병합

• 앞면, 뒷면과 같이 양측면도 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( \int_{left}+\int_{right} \doteq \frac{\partial D_y}{\partial y}\Delta x\Delta y \Delta z \)

 

(5) 미소체적소의 상-하면 병합

• 앞면, 뒷면과 같이 상-하면도 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( \int_{top}+\int_{bottom} \doteq \frac{\partial D_z}{\partial z}\Delta x\Delta y \Delta z \)

 

(6) 미소체적소의 전체 폐곡면에 대한 가우스 법칙

• 미소체적소 \( \Delta v \) 에 대한 가우스 법칙은 다음과 같다.
  • \( \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} =\int_{front} \text{''}+\int_{back} \text{''}+\int_{top} \text{''}+\int_{bottom} \text{''}+\int_{left} \text{''}+\int_{right} \text{''}\)
  • \( Q = \oint_s \mathbf{D}\doteq (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z})\Delta x\Delta y \Delta z\doteq (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z})\Delta v \)