Chapter 3-5 발산과 맥스웰의 첫 번째 방정식

 

 

 

1. 발산과 맥스웰의 첫 번째 방정식

이번 포스팅에서는 이전 포스팅인 미소체적소에 대한 가우스 법칙의 응용에 대한 결과를 기반으로 다루기 때문에 이전 포스팅을 보고 이 포스팅을 보면 더 이해하기 좋을 것 같다.

2025.03.05 - [Engineering Electromagnetism/3. Electric Flux&Gauss's Law&Divergence] - Chapter 3-4 가우스 법칙의 응용 : 미소체적소

 

 

1) 벡터의 발산(Divergence of  Vector)

(1) 가우스 법칙 응용 예시 : 미소체적소

• 이전 포스팅에서 다뤘던 대칭 전하 분포가 아닌 경우 미소체적소에 대한 가우스 법칙을 적용하는 응용 예시 결과 다음과 같은 식을 얻었다.
  • \( Q = \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \doteq (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z})\Delta v \)

 

(2) 벡터의 발산의 개념

• 미소체적소에 대한 가우스 법칙을 전속 밀도에 대해 정리하면 다음과 같다.
  
  • \( (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}) \doteq \frac{\oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} }{\Delta v}=\frac{Q}{\Delta v} \)
• 극한 값을 취하면 다음과 같다
  • \( (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}) = \displaystyle \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} }{\Delta v}=\displaystyle \lim_{\Delta v \to 0} \frac{Q}{\Delta v} = \rho_v \)
• 폐곡면에 대한 벡터는 임의의 벡터 \( \mathbf{A} \)(속도, 온도 경도, 힘) 등 어떤 벡터에 대해서도 적용이 가능하므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
  •  \( \text{Divergence of }\mathbf{A} = \text{div }\mathbf{A} = \displaystyle \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_s \mathbf{A} \bullet d\mathbf{S} }{\Delta v} \)
• 물리적 해석을 위해 벡터 \( \mathbf{A} \) 를 선속 밀도의 구성으로 생각해보자
  • 선속 밀터 벡터 \( \mathbf{A} \)의 발산은 체적이 0으로 줄어들 때 폐곡면 바깥으로 나가는 단위 체적 당 선속 수의 극한값과 같다.
• 벡터 \( \mathbf{D} \)의 발산은 다음과 같이 세 좌표계로 표현될 수 있다.
  • \( \text{div }\mathbf{D} = (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}) \quad \text{(Rectangular)} \)
  • \( \text{div } \mathbf{D} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho D_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial D_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z} \quad \text{(Cylindrical)} \)
  • \( \text{div } \mathbf{D} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 D_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta D_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial D_\phi}{\partial \phi} \quad \text{(Spherical)} \)

 

(3) 벡터의 발산 정리

• 벡터의 발산의 정의
  
  • \( \text{div }\mathbf{D} = \displaystyle \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} }{\Delta v} \)
• 벡터의 발산의 계산 시 사용되는 개념
  • \( \text{div }\mathbf{D} = (\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}) \)
• 벡터의 발산으로 얻는 변수
  • \( \text{div }\mathbf{D} = \rho_v \)
• Gauss 법칙의 미분형(point form) 
  • 어떤 점에서 나가는 단위체적 당 전속수는 그 점의 체적전하밀도와 같다.

 

 

2) 벡터 연산자(Vector Operator)

(1) 벡터 연산자 \(  \nabla  \) 의 개념

• \( \nabla \) 배경
  • 두 벡터의 내적이 스칼라인 것처럼 발산이 스칼라를 산출하는 벡터에 대한 연산이라는 것을 생각해보자.
  • 스칼라를 산출하기 위해 dot product 연산이 가능한 연산자를 찾아보자.
• \( \nabla \) 정의
  
  • 벡터 연산자인 del 연산자
  • 미분 연산자와 같은 의미
  • \( \nabla = \frac{\partial}{ \partial x}\mathbf{a_x} + \frac{\partial}{ \partial y}\mathbf{a_y} + \frac{\partial}{ \partial z}\mathbf{a_z} \)
• \( \nabla \) 특징
  • 비슷한 스칼라 연산자는 여러 가지 미분 방정식을 푸는 방법에 나타난다.
  • 모든 면에서 일반 벡터로 취급할 수 있다.
  • 발산은 벡터에 대한 연산이므로 두벡터의 스칼라 곱이다.
  • 단, 한가지 중요한 예외는 스칼라 곱 대신 편미분이 발생한다,  

 

(2) 벡터의 발산에 대한 벡터 연산자 적용

• 벡터 연산자와 전속 밀도에 dot product를 적용하면 다음과 같이 표현된다.
  
  • \( \nabla \bullet \mathbf{D} \) 
• 다음과 같이 정리된다. 
  
  • \( \nabla \bullet \mathbf{D} = (\frac{\partial}{ \partial x}\mathbf{a_x} + \frac{\partial}{ \partial y}\mathbf{a_y} + \frac{\partial}{ \partial z}\mathbf{a_z}) \bullet (D_x\mathbf{a_x}+D_y\mathbf{a_y}+D_z\mathbf{a_z}) \)
  • \( \nabla \bullet \mathbf{D} = \frac{\partial}{ \partial x}D_x + \frac{\partial}{ \partial y}D_y + \frac{\partial}{ \partial z}D_z = \text{div }\mathbf{D} \)
• 따라서 다음과 같은 관계가 정의된다.
  • \( \text{div }\mathbf{D} = \nabla \bullet \mathbf{D} = \rho_v \)
• \( \nabla \bullet \mathbf{D} \) 의 결과는 \( \text{div }\mathbf{D} \) 과 같이 세 좌표계 모두 동일하다.

 

(3) Gauss 법칙의 정리

• 벡터 연산자 개념이 도입되고 나서야 가우스 법칙의 미분형과 적분형을 다음과 같이 정리할 수 있게 된다.
• 가우스 법칙의 적분형
  • \( Q = \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} \)
  • Gauss 폐곡면을 통해 나가는 총 전속은 폐곡면 내 총전하량과 같다.
  • 전속은 전하로부터 나오며, 폐곡면을 통과하는 총 전속은 내부 전하량에 의해 결정된다.
• 가우스 법칙의 미분형
  • \( \nabla \bullet \mathbf{D} = \rho_v \)
  • 전속 밀도의 발산은 해당 지점에서의 체적 전하 밀도와 같다.
  • 전계는 전하가 존재하는 점으로부터 시작되며, 발산한다.

 

3. 멕스웰의 첫 번째 방정(Maxwell’s first equation)

(1) 멕스웰의 첫 번째 방정식

• 멕스웰 방정식 : 전자기 현상을 나타내는 4개의 편미분 방정식
• 멕스웰의 첫 번째 방정식
  • 전기장에 대한 가우스 법칙(Gauss's Law for Electric Fields)의 미분형으로 다음과 같다.
  • \( \nabla \bullet \mathbf{D} = \rho_v \)

 

(2) 발산의 정리(Divergence Theorem)

 

그림1. 발산의 정리

• Gauss 법칙을 전하 Q에 대해 정리하면 다음과 같다. 
  • \( Q = \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} = \int_{vol} \rho_v dv = \int_{vol} \nabla \bullet \mathbf{D} dv \)
• 발산의 정리는 다음과 같이 정의된다.
  • \( \oint_s \mathbf{D} \bullet d\mathbf{S} = \int_{vol} \nabla \bullet \mathbf{D} dv \)
  • 임의의 체적 전체에 대한 체적 적분을 폐곡면에 대한 면적분으로 변환시킬 수 있다.
• 발산의 정리에 대한 의미
  • 어떤 백터계 내 임의의 폐곡면(미소체적소) 전체에 대한 벡터의 법선성분의 면적분은 폐곡면의 체적 전체에 대한 벡터 발산의 체적 적분과 같다.
  • 전체 체적에 대한 전속 밀도의 발산을 적분한 것은 폐곡면을 통해 밖으로나간 총 전속수와 같다.