Chapter 4-3 전하계에 의한 전위 : 보존적 성질

 

 

1. 전하계에 의한 전위 : 보존적 성질

이전 포스팅에서 전하에 의한 전위 및 전위차에 대해 알아보았다. 이어서 이 전하 시스템에 의한 전위계가 어떤 성질을 갖는지 알아보자.

 

 

1) 전하계에 의한 전위(Potential Field of a System of Charges)

 

그림1. 점전하의 전위계

(1) 단일 점전하의 의한 전위계

• 그림 1에서 원점이 아닌 \( \mathbf{r}_1 \) 인 점에 점전하 \( Q_1 \)만 존재한다고 생각해보자.
• \( Q_1 \) 에 의한 \( \mathbf{r} \) 인 점의 전위는 \( Q_1 \) 으로 부터 그 점까지의 거리 \( |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} | \) 만의 함수이다.
• 무한 원점을 0으로하는 경우 다음과 같다.
  • \( V( \mathbf{r} ) = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)

 

(2) 두 점전하에 의한 전위계

• 이전 포스팅에서 전위 및 전위차는 적분 경로와 무관하다는 것을 다뤘다.
• 이는 전위계(Potential Field)에서 전하 시스템(Charge System)이 선형이므로 중첩이 가능하다는 의미이다.
  • 각 점전하에 의한 전위의 총 합과 같다.
• 그림 1과 같이  \( \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2 \) 각각에 있는 두 점전하 \( Q_1, Q_2 \) 에 의한 전위를 생각해보자
  • 각 점전하에 의한 두 거리 : \( |\mathbf{r}- \mathbf{r_1}|, |\mathbf{r}- \mathbf{r_2}| \) 
  • \( V( \mathbf{r} ) = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |}+ \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_2} |} \)
• 따라서 여러 점전하에 의한 전위계의 일반식은 다음과 같다.
  • \( V( \mathbf{r} ) = \sum_{m=1}^{n} \frac{Q_m}{4\pi\epsilon_0|\mathbf{r}-\mathbf{r_m}|} \)

 

(3) 전하가 연속적으로 분포되어 있는 경우

• 단일 점전하에 의한 전위계의 전하 Q를 연속적 전하 분포로 생각해보자
  • \( V( \mathbf{r} ) = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)
• 점전하를 연속적인 전하 분포로 생각하면 전하Q에 대한 식은 다음과 같다.
  • \( \text{Volume Charge Density : } Q = \int_{vol} \rho_v dv \)
  • \( \text{Line Charge Density : } Q = \int \rho_L dL \)
  • \( \text{Sheet of Charge Density : } Q = \int_{s} \rho_s ds \)
• 각 연속적인 전하 분포를 점전하에 의한 전위계 식에 대입하면 다음과 같다.
  • \( \text{Volume Charge Density : } V( \mathbf{r} ) = \int_{vol} \frac{\rho_v(\mathbf{r}) dv'}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)
  • \( \text{Line Charge Density : } V( \mathbf{r} ) = \int \frac{\rho_L(\mathbf{r}) dL'}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)
  • \( \text{Sheet of Charge Density : } V( \mathbf{r} ) = \int_{s} \frac{\rho_s(\mathbf{r}) ds'}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)

 

(4) 전하가 연속적으로 분포되어 있는 경우에 대한 예시 : 선전하에 의한 전위

그림2. 선전하에 의한 전위계

• 각 연속적인 전하 분포중 선전하에 의한 전위계에 대해 다음과 같이 예를 들어보자.
• 그림 2와 같이 단위 전하를 임의의 폐곡선을 따라 일주시키는데 필요한 일을 생각해볼 수 있다.
• z축 상에 \( \rho=a \) 인 균일한 선전하에 대한 전위는 다음과 같다.
  • \( V( \mathbf{r} ) = \int \frac{\rho_L(\mathbf{r}) dL'}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |} \)
• 전위식을 풀기 위해 필요한 내용은 다음과 같다.
  • \( dL' = ad\phi ' \)
  • \( \mathbf{r} = z\mathbf{a}_z \)
  • \( \mathbf{r'} = a\mathbf{a}_\rho \)
  • \( |\mathbf{r}- \mathbf{r_1}| = \sqrt{a^2+z^2} \)
• 전위식에 대입하면 다음과 같다.
  • \( V( \mathbf{r} ) = \int \frac{\rho_L(\mathbf{r}) dL'}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}- \mathbf{r_1} |}=\frac{\rho_L a}{4\pi\epsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}d\phi '=\frac{\rho_L a}{2\epsilon_0\sqrt{a^2+z^2}} \)

 

 

2) 보존계(Conservative Field)

(1) 보존계의 정의

• 단위 전하를 임의의 폐곡선을 따라 일주시키는데 필요한 일은 0 이다.
• 폐곡선의 경로에 대한 전위차의 합이 0 이다.(키르히오프의 전압 법칙, KVL)
• 에너지가 계(Field)내에서 보존된다는 것을 의미한다.