Chapter 4-6 정전계 내의 에너지 밀도(Energy Density in the Electrostatic Field)

 

1. 정전계 내의 에너지 밀도(Energy Density in the Electrostatic Field)

전계에서 점 전하를 이동시키는데 필요한 일과 에너지를 고려하여 전위라는 개념을 도입했다.

이로부터 전하 시스템에 존재하는 에너지와 에너지 밀도에 대해 알아보자.

 

 

1) 전하 시스템의 에너지(Energy in System of Charge)

(1) 전계 내 저장된 에너지(Energy stored in Electric Field)

• 양전하를 무한대에서 다른 양전하가 존재하는 전계 가져오는 것은 일을 필요로 하며, 이때 외부 소스 즉, 외부에서 가해주는 힘이 전하를 이동시키며, 외부로부터 일(W)이 수행됐다 라고 말한다.
• 전하 시스템에 대해 다음과 같이 설명할 수 있다.
  • 비어있는 우주를 상상해보자.
  • 전하 \( Q_1 \) 을 무한대에서 임의의 위치로 가져오는 것은 일이 필요하지 않다. 왜냐하면 아직 전계가 존재하지 않기 때문이다.
  • 전하 \( Q_2 \) 를 \( Q_1 \) 에 의한 전계가 존재하는 공간에 위치시키는 것은 일이 필요하다.
  • 이 때의 일은 \( Q_1 \)에 의한 전계 내 \( Q_2 \) 를 임의의 위치에 놓았을 때, 그 지점에서의 전위와  \( Q_2 \) 의 곱으로 표현된다. 
• 이 때 수행된 일은 전계 내 저장된 에너지로 볼 수 있으며, 이는 다음과 같이 표현된다.
  
  • \( W = Q_2V_{2,1} \)
  • \( V_{2,1} \) : \( Q_2 \) 가 위치한 지점에서의 \( Q_1 \) 에 의해 생성된 전위
  • 첫 번째 첨자 : 전위가 측정된 위치(Position)
  • 두 번째 첨자 : 전위를 생성한 전하(Sorce)
  • \( Q_2 \) 지점에서의 전위를 의미로 \( V_2 \) 로 간략하게 표현하자
  • \( W = Q_2V_2 \) 

 

그림1. 전하 시스템에 저장된 에너지

 

(2) 전하 시스템에 저장된 에너지(Energy stored in System of Charge) : 점 전하가 2개인 경우

• 그림1의 (a)와 같이 두 점전하가 존재하는 전하 시스템에 대한 에너지를 생각해보자
• 전하 시스템에 저장된 총 에너지는 다음과 같다.
  • \( W_E = QV = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r} \)
• Q1에 의한 전계에 Q2를 위치시키는 데 필요한 일은 다음과 같다.
  • \( W_2 = Q_2V_2 = Q_2\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 r} \)
• Q2에 의한 전계에 Q1을 위치시키는 데 필요한 일은 다음과 같다.
  • \( W_1 = Q_1V_1 = Q_1\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 r} \)
• 전하 시스템에 저장된 총 에너지는 다음과 같다
  • \( W_E = QV = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r} = Q_1\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 r} + Q_2\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 r}= \frac{1}{2} (W_1 + W_2)  = \frac{1}{2}(Q_1V_1+Q_2V_2) \)
• 두 전하가 거리 r만큼 떨어져 있을 때, 두 점전하 간의 저장된 에너지는 각 전하가 생성한 에너지의 합의 1/2과 같다.

 

(3) 전하 시스템에 저장된 에너지(Energy stored in System of Charge) : 점 전하가 3개인 경우

• 그림1의 (b)와 같이 3개의 점전하가 존재하는 전하 시스템에 대한 에너지를 생각해보자
• 이 경우 각 전하에 의한 전계 내 위치 별 전위를 생각해보면 다음과 같다.
  • 서로 다른 두 전하에 의한 에너지를 계산하여 모두 더해주면 전체 시스템에 저장된 에너지가 된다.
  • 전하가 3개인 경우 두 전하 조합 : \( {}_3C_2 = 3 \to (Q_1,Q_2), (Q_2,Q3), (Q_3,Q_1) \) 
• 전하 시스템에 저장된 총 에너지는 다음과 같다.
  • 전하 시스템에 저장된 총 에너지는 서로 다른 두 전하에 의한 에너지의 합과 같다.
  • \( W_E = QV = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q_2Q_3}{4\pi\epsilon_0 b} + \frac{Q_3Q_1}{4\pi\epsilon_0 c} \)
• 두 전하 사이 거리 a인 경우, 두 점전하 간의 저장된 에너지는 각 전하가 생성한 에너지의 합의 1/2과 같다.
  • \( \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 a} = \frac{1}{2} (Q_1\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 a}+ Q_2\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 a})   \)

• 두 전하 사이 거리 b인 경우, 두 점전하 간의 저장된 에너지는 각 전하가 생성한 에너지의 합의 1/2과 같다.
  • \( \frac{Q_2Q_3}{4\pi\epsilon_0 b} = \frac{1}{2} (Q_2\frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 b}+ Q_3\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 b})  \)
• 두 전하 사이 거리 c인 경우, 두 점전하 간의 저장된 에너지는 각 전하가 생성한 에너지의 합의 1/2과 같다.
  • \( \frac{Q_3Q_1}{4\pi\epsilon_0 c} = \frac{1}{2} (Q_3\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 c}+ Q_1\frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 c})  \)
• 각 전하가 생성한 에너지의 합을 표현하면 다음과 같다.
  • \( W_E = QV = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q_2Q_3}{4\pi\epsilon_0 b} + \frac{Q_3Q_1}{4\pi\epsilon_0 c} \)
  • \( W_E = \frac{1}{2} (Q_1\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 a}+ Q_2\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 a}) + \frac{1}{2} (Q_2\frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 b}+ Q_3\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 b}) + \frac{1}{2} (Q_3\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 c}+ Q_1\frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 c}) \)
• 각 전하에 대해 정리하면 다음과 같다.
  • \( Q_1 \) 에 대해 정리 : \( \frac{1}{2} Q_1( \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 c}) = \frac{1}{2} Q_1V_1 \)
  • \( Q_2 \) 에 대해 정리 : \( \frac{1}{2} Q_2( \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q_3}{4\pi\epsilon_0 b}) = \frac{1}{2} Q_2V_2 \)
  • \( Q_3 \) 에 대해 정리 : \( \frac{1}{2} Q_3( \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 b} + \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 c}) = \frac{1}{2} Q_3V_3 \)
• 전하 시스템에 저장된 총 에너지
  • \( W_E = QV = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r} + \frac{Q_2Q_3}{4\pi\epsilon_0 r} + \frac{Q_3Q_1}{4\pi\epsilon_0 r}= \frac{1}{2} Q_1V_1 + \frac{1}{2} Q_2V_2 + \frac{1}{2} Q_3V_3  \)
  • \( W_E = \frac{1}{2}(Q_1V_1+ Q_2V_2+ Q_3V_3 )  \)

• 즉, 전하 시스템에 저장된 총 에너지는 각 전하가 위치한 지점에서 갖는 에너지의 합의 1/2 배와 같다.

 

(4) 전하 시스템에 저장된 에너지(Energy stored in System of Charge) : 일반식

• 위 전개 과정을 통해 전하 시스템에 저장된 총 에너지의 일반식은 다음과 같다.
  • \( W_E = \frac{1}{2}(Q_1V_1+ Q_2V_2 +\cdot \cdot \cdot ) = \frac{1}{2}\sum_{m=1}^{m=n}Q_mV_m \)
• 전하 분포에 따라 전하를 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • 점전하 : \( Q = \sum Q_n \)
  • 체적 전하 분포 : \( Q = \int \rho_v dv \)
• 따라서 전하분포에 따라 시스템에 저장된 총 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( W_E = \frac{1}{2}\sum_{m=1}^{m=n}Q_mV_m \)
  • \( W_E =  \frac{1}{2} \int_{vol} \rho_v V dv \)

 

 

2) 전하 시스템의 에너지 밀도(Energy Density in System of Charge)

(1) 연속적인 전하 분포의 경우에 대한 에너지 밀도

• 전하가 개별 점전하로 존재하는 것이 아닌 연속적인 체적 전하 분포로 존재하는 경우 에너지 밀도에 대해 생각해보자.
• 체적전하 분포와 전속밀도의 관계인 맥스웰의 첫번째 방정식(= 가우스 법칙의 미분형)은 다음과 같다.
  • \( \rho_v = \nabla \bullet \mathbf{D} \)
• 이 식을 체적 전하 분포에 따른 에너지식에 대입하면 다음과 같다.
  • \( W_E =  \frac{1}{2} \int_{vol} \rho_v V dv = \frac{1}{2} \int_{vol} ( \nabla \bullet \mathbf{D} ) V dv \)
• 이 식을 곱의 미분법칙을 이용하면 다음과 같이 생각할 수 있다.
  • \( (f(x)g(x))' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)' \)
  • \( \nabla \) : 미분연산자이므로 prime으로 생각할 수 있다.
  • \( (V \mathbf{D})' = V'\mathbf{D} + V\mathbf{D}' \)
  • \( \nabla \cdot (V\mathbf{D}) = (\nabla V) \cdot \mathbf{D} + V (\nabla \cdot \mathbf{D}) \)
• 위 식을 에너지식에 대입하면 다음과 같다.
  • \( ( \nabla \cdot \mathbf{D} ) V = \nabla \cdot (V\mathbf{D}) - (\nabla V) \cdot \mathbf{D} \)
  • \( \frac{1}{2} \int_{vol} ( \nabla \bullet \mathbf{D} ) V dv =\frac{1}{2} \int_{vol} [ \nabla \cdot (V\mathbf{D}) - (\nabla V) \cdot \mathbf{D} ] dv \)
  • \( \frac{1}{2} \int_{vol} [ \nabla \cdot (V\mathbf{D}) - (\nabla V) \cdot \mathbf{D} ] dv =\frac{1}{2}(\int_{vol} \nabla \cdot (V\mathbf{D})dv - \int_{vol}(\nabla V) \cdot \mathbf{D}dv) \)
• 적분식에서 좌항부터 생각해보면, 가우스 법칙 관계를 이용하여 다음과 같이 정리된다.
  • \( Q = \int_{vol} \rho_v dv = \oint_s \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} \)
  • \( \rho_v = \nabla \cdot \mathbf{D} \to \int_{vol} \rho_v dv = \int_{vol} \nabla \cdot \mathbf{D} dv \)
  • \( \int_{vol} \nabla \cdot (V\mathbf{D})dv = \oint (V\mathbf{D})\cdot d\mathbf{S} \)
  • 각각의 물리량은 거리에 대한 함수이다.
  • 전위 : \( V \propto \frac{1}{r} \)
  • 전속밀도 : \( D \propto \frac{1}{r^2} \)
  • 폐곡면 : \( S \propto r^2 \)
  • \( \oint (V\mathbf{D})\cdot d\mathbf{S} \propto \frac{1}{r} \)
  • 따라서 거리에 따라 적분을 하면 0이 된다.
  • \( r \to \infty : \oint (V\mathbf{D})\cdot d\mathbf{S} = 0 \)
• 적분식에서 우항을 생각해보면, 물리량 사이 관계를 이용하여 다음과 같이 정리된다.
  • \( \mathbf{E} = -\text{grad V} = -\nabla V \)
  • \( \mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} \)
  • \( -\int_{vol}(\nabla V) \cdot \mathbf{D}dv = -\int_{vol} -\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}dv = \int_{vol} \mathbf{E}(\epsilon_0 \mathbf{E}) dv \)
  • \( -\int_{vol}(\nabla V) \cdot \mathbf{D}dv = \int_{vol} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D}dv = \int_{vol} \epsilon_0 \mathbf{E}^2 dv \)
• 지금까지 과정을 정리하면 에너지 밀도를 이용한 총 에너지를 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • \( W_E =  \frac{1}{2} \int_{vol} \rho_v V dv = \frac{1}{2} \int_{vol} ( \nabla \bullet \mathbf{D} ) V dv = \frac{1}{2}(\int_{vol} \nabla \cdot (V\mathbf{D})dv - \int_{vol}(\nabla V) \cdot \mathbf{D}dv) \)
  • \( W_E = \frac{1}{2}(\oint (V\mathbf{D})\cdot d\mathbf{S} + \int_{vol} \epsilon \mathbf{E}^2 dv) \)
  • \( W_E = \frac{1}{2} \int_{vol} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D}dv = \frac{1}{2} \int_{vol} \epsilon \mathbf{E}^2 dv (J/m^3) \)
  • 즉, 단위 체적당 저장된 에너지인 에너지 밀도의 체적 적분을 통한 총 에너지를 의미한다.

 

(2) 에너지 밀도와 전위의 관계

• 에너지 밀도를 구하기 위해 다음과 같은 관계를 이용했다.
  • \( \rho_v = \nabla \cdot \mathbf{D} \)
• 저장된 총 에너지는 다음과 같다.
  
  • \( W_E = \frac{1}{2} \int_{vol} \rho_v V dv = \frac{1}{2} \int_{vol} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D}dv \)
• 미소 에너지 밀도를 표현하면 다음과 같다.
  • \( \frac{dW_E}{dv} = \frac{1}{2} \rho_v V = \frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \)
• 전위에 대해 전속밀도와 전계의 세기, 체적 전하 밀도로 표현하면 다음과 같다.
  • \( V = \frac{ \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} }{\rho_v} \)
• 따라서, 다음과 같은 의미를 갖는다.
  • 전계와 전속밀도가 클 수록 전위가 크다
  • 체적 전하 밀도가 증가하면 전위는 작아진다
  • 즉, 전위는 단위 체적당 에너지와 체적 전하 밀도의 비율로 표현된다.