Chapter 1-4 벡터의 내적(dot product)

1. 벡터의 내적(dot product)

벡터의 곱은 두 종류가 존재한다. 
내적 - scalar product(=inner product, dot product) : 벡터끼리 곱의 결과가 scalar라는 의미이다.
외적 - vector product(=outter product, cross product) : 벡터끼리 곱의 결과가 vector라는 의미이다.

그 중 내적 - dot product에 대해 알아보자

 

 

1) 내적(dot product)의 배경

고대 인류는 물체를 움직이거나 운반할 때 얼마나 많은 노력이 필요한지를 알고 싶어 했다.
하지만, 단순히 힘의 크기만 측정하는 것이 아니라 얼마나 효율적으로 힘이 전달되는지가 더 중요했다.

 

e.g. 경사면에서 무거운 물체를 밀 때 

같은 힘을 가해도 경사면의 기울기에 따라 물체가 움직이는 정도가 달라지고, 수직으로 힘을 가하면 전혀 이동하지 않지만, 경사 방향으로 힘을 가하면 더 쉽게 이동

 

 

2) 내적(dot product)의 의미

 

그림1. 내적의 배경

 

힘을 가했을 때 얼마나 많은 일(Work) 이 수행되는지 측정하기 위함이다.
힘을 가해 물체를 밀 때, 힘이 얼마나 효율적으로 전달되는지, 힘의 방향과 움직임의 방향이 얼마나 일치하는가를 의미한다.

 

전자기학에서의 예 : 전계 내에서 전하의 이동

전계 내에서 전하를 이동시키는 경우 전계 E 속에서 전하 q가 이동할 때, 전계가 하는 일을 의미

 

 

3) 내적(dot product)의 정의

정의 : 두 벡터에 대한 곱의 결과가 scalar이다.

표현 : 곱의 기호로 \( \bullet \) 를 사용하여 dot product로 표현한다. 

 

(1) 대수적 정의

\( \mathbf{A}\bullet\mathbf{B}=(A_x\mathbf{A_x}+A_y\mathbf{A_y}+A_z\mathbf{A_z})\bullet(B_x\mathbf{B_x}+B_y\mathbf{B_y}+B_z\mathbf{B_z})=A_xB_x+ A_yB_y + A_zB_z \)

 

(2) 기하학 정의

 

그림2. 투영을 이용한 내적

Projection(투영) :

시작점이 같은 벡터 a, b가 있을때, b의 끝점에서 a 방향으로 수선의 발을 내렸을 때 시작점에서 그 수선의 발까지의 벡터

\( proj_a\mathbf{B} \) : vector projection of b onto a(b의 a 방향으로의 투영)

 

삼각 함수에 의해 다음과 같이 정의될 수 있다.

\( proj_a\mathbf{B} = \left | \mathbf{B}\right |cos \theta \times \frac{\mathbf{A}}{\left | \mathbf{A}\right |} \) 

벡터 \( \mathbf{B} \) 에 대해 크기만을 A방향으로 투영시켰다 라는 의미이다.

 

내적을 위해  \( proj_a\mathbf{B} \) 로부터 크기 즉 성분(component)만을 가져오면 다음과 같다. 

\( \operatorname{comp}_{A} B =\left | \mathbf{B}\right |\cos \theta \)

 

따라서 기하학적 내적의 정의는 다음과 같다.

\( \mathbf{A} \bullet \mathbf{B} = \left| \mathbf{A} \right| \operatorname{comp}_{A} B = \left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos \theta \)

 

사잇각 \( \theta \) 를 알고 싶을 때에는 다음과 같이 구할 수 있다.

\( \cos \theta =\frac{\mathbf{A}\bullet\mathbf{B}}{\left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| }=N \) 이라고 할 때

\( \theta=\arccos N \)

 

(3) 정리

정리하면 정의는 다음과 같다.

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \bullet \mathbf{B} &= (A_x\mathbf{A_x} + A_y\mathbf{A_y} + A_z\mathbf{A_z}) \bullet (B_x\mathbf{B_x} + B_y\mathbf{B_y} + B_z\mathbf{B_z}) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \mathbf{A} \bullet \mathbf{B} &= \left| \mathbf{A} \right| \operatorname{comp}_{A} B = \left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos \theta \quad (\because \operatorname{comp}_{A} B = \left| \mathbf{B} \right| \cos \theta) \end{aligned} $$

 

 

4) 내적(dot product)의 특징

 

그림3. 내적의 특징

 

(1) 대수적 특징

내적(dot product)의 경우 크기의 연산이므로 교환법칙, 분배법칙등이 성립한다.

 

(2) 단위 벡터의 내적 관계

벡터의 내적(dot product)의 식에 \( \cos \theta \) 가 있다는 점을 생각해보면,

\( \cos \theta \) 의 특성상 각도가 90°에서 0임을 알 수 있다.

 

따라서 좌표계에서 단위벡터 사이각이 모두 90°인 점을 이용해서 다음과 같은 내적 관계를 알 수 있다

\( \mathbf{a_x}\bullet\mathbf{a_y}= \mathbf{a_y}\bullet\mathbf{a_x}= \mathbf{a_y}\bullet\mathbf{a_z}= \mathbf{a_z}\bullet\mathbf{a_y}= \mathbf{a_z}\bullet\mathbf{a_x}= \mathbf{a_x}\bullet\mathbf{a_z}=0 \)

\( \mathbf{a_x}\bullet\mathbf{a_x}= \mathbf{a_y}\bullet\mathbf{a_y}= \mathbf{a_z}\bullet\mathbf{a_z}=1 \)

 

이를 통해 다시 한 번 대수적 정의가 왜 저렇게 나왔는지 알 수 있다