Chapter 1-8 구 좌표계(Spherical Coordinate System)

1. 구 좌표계(Spherical Coordinate System)

원통 좌표계에 이어 대칭성을 갖는 좌표계중 하나인 구 좌표계에 대해 알아보자.

 

 

1) 구 좌표계의 정의

 

그림1. 구 좌표계의 정의

 

정의 : 점의 위치를 원점(기준점)으로부터의 거리와 두 개의 각도로 공간상의 한 점을 구 위의 점으로 표현하는 좌표계

구 좌표계 : $P(r,\theta ,\varphi )$

$r$ : 원점으로부터 점 P까지의 거리(구의 반지름)

$\theta$ : 원점에서 점 P까지 연결하는 선과 z축 사이의 각(지구의 위도 , $0\le \theta \le \pi$ )

$\varphi$ : 원점과 점 P를 연결하는 직선을 z= 0 인 평면에 투영한 선과 x축 사이의 각(지구의경도 , $0\le \varphi \le 2\pi$ )

 

 

2) 구 좌표계의 단위 벡터

 

그림2. 구 좌표계의 단위 벡터

 

(1) 정의

좌표값이 일정한 면에 직각이고, 좌표값이 증가하는 방향의 크기가 1인 벡터

${\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}$ : 반지름 방향으로 구 표면에 대해 수직 방향

${\mathbf{a}}_{\theta }$ : 극각 방향(z축 기준 위-아래 방향)으로 구 표면에 접하는 방향

${\mathbf{a}}_{\varphi }$ : 방위각 방향으로 원주 방향(구 표면에서 수평으로 회전하는 방향)

 

(2) 특징

구 좌표계도 원통 좌표계와 같은 이유로 단위 벡터의 방향이 좌표(위치)에 따라 달라진다.

따라서, 개별 위치(좌표)에 대하여 단위 벡터를 다음과 같이 정의한다.

점 $P(r,\theta ,\varphi )$ 에서의 단위 벡터 : ${\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}$ , ${\mathbf{a}}_{\theta }$ , ${\mathbf{a}}_{\varphi }$

 

단위 벡터는 서로 직교하므로 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}\times {\mathbf{a}}_{\theta }={\mathbf{a}}_{\varphi }$ 관계가 성립한다

즉, 좌표계가 오른손 좌표계이다.

 

 

3) 구 좌표계의 미소체적소 (Differential Volume Element)

(1) 정의

 

그림3. 구 좌표계의 미소체적소

 

 

한 점 $(r,\theta ,\varphi )$ 에서 각 변수가 증가하는 방향으로 미소량 $(dr,d\theta ,d\varphi )$ 을 증가시켜 6개면으로 둘러 쌓인 입체면 즉, 미소체적을 형성

 

입체면을 형성하는 미소체적소서의 길이, 면적, 체적은 다음과 같다.

• 길이(Length)
  • $dr=dr$
  • $d\theta ,d\varphi$ 의 경우, 호의 길이 $l=r\theta$ 에 의해 길이가 다음과 같이 정의된다.
  • $d\theta =rd\theta$
  • $d\varphi =r\sin \theta d\varphi (\because r=r\sin \theta ,\theta =d\varphi )$
• 면적(Surface)
  • $dS=rdrd\theta ,r\sin \theta drd\varphi ,r^2\sin \theta d\theta d\varphi$
• 체적(Volume)
  • $dv=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

 

3) 구 좌표계와 직각좌표계의 관계

(1) 좌표 관계(위치 관계)

 

그림4. 구 좌표계와 직각 좌표계의 관계

 

좌표 관계는 한 점을 기준으로 직각 좌표계 $(x,y,z)$ 와 구 좌표계 $(r,\theta ,\varphi )$ 변수간 관계를 의미한다.

점 P에서 각 축에 수선의 발을 내리면 직각이 형성되므로 두 사잇각 $\theta ,\varphi$ 에 대한 삼각비를 이용하여 변수간 관계를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$x=r\sin \theta \cos \varphi r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$y=r\sin \theta \sin \varphi \theta =\arccos z/r$
$z=r\cos \theta \varphi =\arctan y/x$

 

(2) 벡터 관계

 

그림5. 구 좌표계와 직각 좌표계의 벡터 관계

 

벡터 관계는 각 단위 벡터를 기준으로 직각 좌표계 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{x}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}$ 와 구 좌표계 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{r}},{\mathbf{a}}_{\theta },{\mathbf{a}}_{\varphi }$ 벡터간 관계를 의미한다.

 

두 좌표계에 대한 두 벡터 $\mathbf{A}$ 를 구 좌표계에 대한 단위 벡터로 전개하면 다음과 같다.

$$\mathbf{A}=A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}},\mathbf{A}=A_r{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+A_{\theta }{\mathbf{a}}_{\theta }+A_{\varphi }{\mathbf{a}}_{\varphi }$$ $$\begin{array}{rl}{A}_r& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}\\ & =A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}\\ A_{\theta }& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }\\ & =A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }\\ A_{\varphi }& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }\\ & =A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }\end{array}$$

 

그림6. 구 좌표계와 직각 좌표계의 단위 벡터간 내적

그림7. 두 좌표계의 단위 벡터 내적을 위한 xy 평면으로의 투영

 

수식을 완성하기 위해 구 좌표계와 직각 좌표계의 단위 벡터간 내적 관계가 필요하고 다음과 같다.

내적 관계는 그림5, 6과 같이 xy 평면에 투영한 후 x축과 y축에 투영하여 내적 계산한다.

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}& =\sin \theta \cos \varphi \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }& =\cos \theta \cos \varphi \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }& =-\sin \varphi \end{array}\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}& =\sin \theta \sin \varphi \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }& =\cos \theta \sin \varphi \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }& =\cos \varphi \end{array}\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}& =\cos \theta \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }& =-\sin \theta \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }& =0\end{array}$$

 

내적 관계를 이용하여 두 좌표계의 벡터 관계를 정의하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{A}_r& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}\\ & =A_x\sin \theta \cos \varphi +A_y\sin \theta \sin \varphi +A_z\cos \theta \\ A_{\theta }& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\theta }\\ & =A_x\cos \theta \cos \varphi +A_y\cos \theta \sin \varphi -A_z\sin \theta \\ A_{\varphi }& =\mathbf{A}\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }=(A_x{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}+A_y{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}+A_z{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}})\cdot {\mathbf{a}}_{\varphi }\\ & =-A_x\sin \varphi +A_y\cos \varphi \end{array}$$ 따라서 정리하면 다음과 같다. $$\left[\begin{array}{c}{A}_r\\ A_{\theta }\\ A_{\varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right]$$

 

(3) 정리

좌표(위치)의 변환과 벡터의 변환은 다르다.

좌표의 변환은 한 점을 변환하는 것이고,

벡터의 변환은 성분벡터와 단위벡터를 이용하여 해당 벡터 자체를 변환하는 것이다.